dcmonsl

ration.

Nous

dirons d'abord

qu

e la généralisalio

n à laquelle

ï ce pri

incipe

conduit n'est i

comme celle que

rori obliei

it en réunis-

sant dans une formule les solutions de questions de même genre, différant les unes des autres, seulement par les valeurs particulières des données. Ici le genre des questions peut être très-différent, il peut même n'être pas désigné. On comprend donc que la formule qui en contiendra les solutions devra renfermer des indications d'opérations clairement définies, mais dont la forme ne pourra être exprimée, parce qu'elle dépendra de la nature des équations qui définiront le système.

Malgré cette indécision inévitable dans une formule qui doit s'appliquer à une infinité d'espèces, et qui deviendra précise dès que l'espèce prendra une forme déterminée, cetie formule offrira des avantages que l'on peut comprendre d'avance.

Elle réduira dans chaque cas la recherclie des équations d'équilibre à de simples calculs bien définis, et qui s'exécuteront sur les équations qui exprimeront les liaisons des points du système, et il n^y aura nullement à s'occuper du mode d'action des forces. Ce ne sera plus un problème de la science des forces, mais de la science des nombres et de celle de l'étendue. La première science sera ramenée aux deux autres précédemment étudiées,

H y aura encore cet avantage que la formule étant indépendante de la nature particulière des liaisons qui existent entre les points, il sera possible d'en déduire des propositions générales, applicables aux formes de liaisons les plus diverses, et à des questions n'ayant les unes avec les autres aucune analogie.

Hosted by

iCd'E DES VITESSES 1

93. Galilée, chercliant à se rendre compie des raisons jjour lesquelles les machines ne produisent pas toujours les avantages qu'on en espérait, en employant de petites forces à vaincre de grandes résistances, recoiuuit que cela tenait à ce que dans les machines non en équilibre, les espaces parcourus par les points d'application de la puissance et de la résistance, dans le sens de ces forces, étaient en raison inverse des intensités de ces forces, lorsqu'elles se faisaient équilibre sur la machine. Cette proposition peut être regardée comme le point de départ de la théorie que nous allons exposer, quoique peut-être il ne fiit pas impossible d'en trouver quelque idée confuse dans les ouvrages d'Arislote.

Galilée la déduit des conditions d'équilibre qu'il démontre préalahlement, et en tire la conséquence, que les machines ne peuvent servir à augmenter ce qu'il appelle improprement la force (ce qu'on appelle aujourd'hui le travail)^ mais seulement à la transformer; qu'on ne peut par leur moyen frauder la nature, et obtenir beaucoup en dépensant peu. Ainsi, par exemple, pour élever un certain poids à une certaine hauteur, en employant un poids dix fois plus petit, il faut que ee dernier parcoure en descendant un espace dix fois plus grand que l'autre; de sorte

que

l'on a réellement fait le même travail des dei

r: dix fois celui de faire parcourir la hauteur donnée à un poids égal au dixième du poids donné.

Cette remarque est une des plus importantes dans la théorie des machines, et peut empêcher bien des illusions désastreuses dans l'industrie, Galilée la déduit des conditions de l'équilibre, et ne l'emploie pas à la généralisation de l'énoncé de ces conditions dans les différentes machines

Hosted by

ii4 DE l'équilibre des fobces.

en équilibre, mais à l'apprécia lion de l'utilité des macliitics

en action.

Descartes a fait précisément l'inverse : il a admis comme évideiil qu'il fallait la même force pour élever un poids à une cerlaine hauteur, que pour élever un poids double à une hauteur moiiîé moindre, ou un poids triple à une liauteur trois fois moindre, et ainsi de suite; parce qiie, dil-il, un poids P élevé à une liauieur H est la même chose que P

élevé à la hauteur - H et encore P élevé à - H, e'cst-à-dire deux fois l'élévation de P à - H. Or, t'est là ce que Ton fait

en élevant aP à la hauteur - H; si ce n'est que l'on fait

alors simultanément ce que l'on avait fait de l'autre manière successivement.

On voit ici la même confusion entre la force et le travail exécuté; mais il n'y aurait aucun inconvénient dans la théorie de Galilée où tout était démontréj tandis que dans celle de Descartes tout était à démontrer. En effel, il est bien évident, comme l'avait déjà dit Galilée, qu'élever un poids à une cerlaine hauteur, c'est faire d'un seul coup ce que l'on ferait en détail en élevant, par exemple, chaque dixième de ce poids successivement à cette même hauteur, ou un même dixième seulement, dix fois de suite à cette même hauteur, c'est-à-dire à une hauteur décuple. Mais quel rapport y a-t-îl entre ces différentes manières de considérer l'élévation d'un poids, et la condition d'équilibre de deux poids sur une machine? pourquoi dans le cas d'équilibre un déplacement fictif du système donnerait-il égalité entre les produits des poids déplacés, par les hauteurs dont ils se seront élevés ou abaissés, c'est-à-dire entre ce qu'il appelle les forces développées? C'est admettre précisément ce qu'il faut prouver.

Hosted by

Jean Benioulii généralisa la proposition de Galilée de la manière suivante: «Lorsque les forces quelconques sont en équilibre sur un système de points assujettis à certaines liaisons, si l'on conçoit ce système déplacé infiniment peu en satisfaisant toujours à ces conditions de liaison, la somme des produits de chaque force par le déplacement de son point d'application, projeté sur la direction de cette force, sera égal à zéro, en regardant comme positives les projections qui sont dans le sens des forées, et comme négatives celles qui sont en sens contraire. >i

Bernoulli se contenta d'énoncer cette proposition générale et ne la démontra point. Il est vraisemblable qu'il y était parvenu en considérant des cas plus compliqués que ne l'avaitfait Galilée, et qu'il l'avait généralisée par simple induction. Il la communiqua en 1717 à Varignou, qui en donna l'énoncé dans sa Nouvelle Mécanique^ et ne la démontra que dans quelques cas très-simples. Lagrange, dans la première édition de sa Mécanique analytique, l'admet comme un principe reconnu, ou, suivant sa propre expression, comme une espèce d'axiome de mécanique ; el il se propose de le réduire en une formule générale, qui renferme la solution de tous les problèmes qu'on peut proposer sur l'équilibre des corps. Ce n'est qu'après la publication de ce grand ouvrage de Lagrange, que pai-ut la première démonstration générale du principe en question. Elle est due à Fourier, et ne date que de j 797, Il en a paru depuis un grand nombre d'autres, et Lagrange lui-même a cru devoir en proposer une dans la seconde édition de la Mécanique analytique. Avant de faire connaître celle que nous avons adoptée, nous allons, en suivant la marche même de celte découverte, montrer d'abord, dans quelques cas simples, comment on a pu reconnaître la vérité de la proposition dont il s'agit.

Mais pour la commodité du langage, nous emploierons

Hosted by

iiG DE l'éqoilïbbe des fouces.

certaines dénominations introduites par Bernoulli, et que nous allons expliquer, dans le sens précis où elles sont entendues aujourd'hui,

94, Lorsque l'on considère un système quelconque de points dans une première position, et que l'on suppose ensuite que chacun d'eux soit placé dans une position infiniment voisine de celle qu'il occupait, sans cesser de satisfaire à toutes les conditions qui dépendent de la nature du système, on nomme vitesse virtuelle d'un quelconque de ces poiuis la droite qui joint sa première position à la seconde. Cette dénomination vient de ce que l'on peut concevoir que ce déplacement se fasse avec uniformité dans un même temps inflniment petit, et qu'alors les espaces parcourus sont proportionnels aux vitesses, et en outre de ce que ce déplacement n'est que possible et ne s'effectue réellement pas.

La vitesse virtuelle d'un point, estimée suivant une direction déterminée, est la projection de cette vitesse sur cette direction. Eu la mesurant par le produit de la vitesse par le cosinus de l'angle que fait la direction du déplacement avec celle suivant laquelle on estime la vitesse, les termes de l'équation que nous allons énoncer seront précisément ce qu'ils doivent être pour en établir la géné-

Nous appellerons moment virtuel d'une force le produit de son intensité par la vitesse virtuelle de son point d'application, estimée suivant la direction de la force.

D'après cela, le principe de Bernoulli consiste en ce que : Si un système quelconque de points est en équilibre, et que V on conçoive un déplacement infiniment petit de tous ses points, qui soit compatible avec toutes les conditions auxquelles il est assujetti, la somme des moments virtuels de toutes les forces est nulle, quel que soit ce déplacement.

Hosted by

CE34P1TKE VI. 117

Et réciproquement^ si celte condition a lieu pour tous les déplacements virtuels, te système est en équilibre.

Dans cet énoncé, les inâniment petits sont considérés de la manière ordinaire. L'équation n'est exacte qu'en considérant les limites des rapports, après avoir divisé par l'une quelconque des quantités infiniment petites; en d'autres termes, la somme des moments est infiniment petite par rapport à ces moments eus-mÈmes.

Cela posé, passons à l'examen de cas particuliers qui prépareront à l'élatlissemcnt de la proposition générale.

9o. Équilibre d'un point unique. — L'équilibre d'un point entièrement libre exige que la somme des forces estimées suivant une direction arbitraire soit nulle; et, réciproquement, si cela est, il y a équilibre. Soient donc P

l'une quelconque qu'elle fcri

s forces appliquées à ce point, fi l'angle ; direction quelconque, on de\

et réciproquement, si cette équation a Uen pour toute direction, le point sera en équilibre. Si l'on multiplie tous les ternies par une quantité arbitraire m, l'équation de-

Or mcosfi est la grandeur m portée, à partir du point donné, sur la direction que l'on considère, et projetée sur la direction de la force P; de plus, le point étant entièrement libre, ni peut être considéré comme la distance de sa première po.'ition à une autre quelconque qu'il pourrait prendre; et en la supposant infiniment petite, elle sera ce que nous avons appelé la vitesse virtuelle de ce point.

Ainsi 5^P'« cofijJ. est la somme des moments virtuels des

Hosted by

Il8 DE LËQVILIDIIE DES FORCES.

forces; donc, si le point est en équilibre, celte s nulle, et rcciproquement : ce qu'il fallait démontrer. On peut observer que, dans ce cas, on peut prendre, au Heu de la vitesse virtuelle, une quantité finie quelconque; et, de plus, que la somme des moments virtuels est rigoureusement nulle, et non pas seulement égale à une quantité infiniment petite par rapport à ces moments eux-mêmes. Si l'on désigne par p la distance d'un point déterminé quelconque, pris sur la direction d'une force P à son point d'application, mcos(i. sera l'accroissement virtuel, positif ou négatif, de p, que nous représenterons par 5/7, et l'équation précédente s'écrira ainsi :

Vpû> = o.

^Q. Dans le cas où le point n'est pas en équilibre, il suffirait, pour qu'il y fût, que l'on introduisît une force égale et opposée à la résultante. Or la somme des momenls serait alors nulle; et, de plus, deux forces égales et opposées, appliquées au même point, donnent, pour un même déplacenaenl de ce point, des moments virtuels égaux et de signes contraires ; donc le moment ■virtuel de la résultante est égal^ en grandeur et en signe, à la somme des moments virtuels des composantes.

Dans cette relation, toutes les forces sont considérées en valeur absolue, et il est nécessaire d'examiner si elle se modifie lorsque les composantes sont susceptibles d'être affectées d'un signe quelconque, comme lorsqu'il s'agit d'une force P que l'on décompose en trois autres X, Y, Z, parallèles à des axes rectangulaires.

Si d'abord on suppose ces trois forces positives, les variations Bx, 3y, §s seront en grandeur et en signes les vitesses virtuelles estimées dans le sens de ces forces respectives, et l'on aura

P 3/> = XJ.r 4- Y 5/ + ZSz.

Hosted by

Si maiiHeiiant une quelconque d'entre elles, Y par exemple, est iiégalive, la valeur absolue de la force sera — Y, mais aussi la vitesse virtuelle estimée dans le sens de celte force qui est contraire au premier sera — §j, et le moment virtuel sera toujours exprimé par Y5j'; de sorte que l'équation précédente est générale, en considérant de la manière ordinaire les signes des composantes, ainsi que des coordonnées : c'est d'ailleurs ce que l'on trouverait directement en projetant sur la résultante la ligne brisée formée par Sx, fy, dz et la vitesse virtuelle.

Si les axes étaient obliques, X dx ne sérail pas le moment virtuel de la force X, puisque ô.c ne serait pas la projection de la vitesse virtuelle du point sur la direction de X; il en serait Je môme des deux autres composantes, et l'équation précédente ne subsisterait plus.

Bemarque, — Cette propriété importante que le moment virtuel de la résultante de forces concourantes est égal à la somme de ceux des composantes, s'étendraient facilement au cas des forces parallèles qui peuvent être regardées comme limites de forces concourantes. On reconnaîtrait d'abord que le moment virtuel d'une force ne cbange pas loisqu'on transporte son point d'application en un point quelconque de sa direction, lié fixement au premier ; et que, dans le déplacement infiniment petit d'une droite de longueur fixe, les vitesses virtuelles de ses extrémités, estimées suivant sa direction, sont égales et de même sens, au second ordre près. Cela posé, en regardant deux forces parallèles, appliquées à deux points donnés comme limites d 1 u f ncouranies passant par ces mêmes points,

1 n uel de la résultante de ces dernières étan,t

uj l la somme de ceux de ces forces, on parvient

j n la même conclusion pour la résultante de f pa 11 1

Mais on y parvient directement en observant que lors-

Hosted by

que la clroile qui joiiu les polnis d'applicalion des deux. forces parallèles et de leur résultante, se déplareiufjiiimeiit peu, les vitesses virtuelles de ces trois points, estimées dans la direction de cette droite, sont égales et de même sens. Et comme la résultante est égale à la somme algébrique des composantes, son moment virluel est égal à la somme nigébrique de ceux des composantes.

97. Si le point est assujetti à rester sur une surface fixe, nous savons qu'il est nécessaire et suffisant, pour l'équilibre, que la résultante soit normale à cette surface, et par conséquent que VP cos^ soit nulle pour toutes les directions

situées dans le plan tangent. On aurait donc encore, comme dans le cas précédent,

^Pmcos^i^o;

mais on ne pourrait plus regarder m comme la distance d& deux positions possibles du point, puisque rcxtrémîté de la ligne m ne se trouve pas sur la surface.

Mais, si l'on prend sur la surface même un point situé à une distance infiniment petite ds du premier, la direction de la droite qui les joint a pour limite celle d'une tangente

quelconque à la surface, et par conséquent ^^Pcos^ est infiniment petit; donc y'P(îj cosfx est infiniment petit par

rapport à ôs\ et par conséquent, dans le sens ordinaire où l'on entend les équations infinitésimales, on a

^Pâjcosp = o.

Donc, dans ce nouveau cas d'équilibre, la somme des moments virtuels des forces est nulle pour tous les déplace-

Hosted by