CHAPITRE VI
menls iiifinJment petits, compatibles avec les condilions de la question ; et réciproquement.
98. Si le poim est assujetti à rester sur une courbe fise, il est nécessaire et suffisant, pour l'équilibre, que la résullanle soit normale à la courbe, et, par suite, que la somme des forces estimées dans le sens de la tangente soit égale à zéro. D'où l'on conclut, comme dans le cas précédent, qu'en désignant par S s un arc infiniment petit de la courbe,
en négligeant les infiniment petits du second ordre. Il est donc nécessaire et suffisant pour l'équililire que la somme des moments virtuels des forces soit nulle pour tous les déplacements des points, compatibles avec les conditions auxquelles il est assujetti.
Si le point n'était que posé sur la surface ou sur la courbe, nous avons déjà dit qu'il serait nécessaire, mais non suffisant, que la résultante fût normale. Les conditions que nous venons d'indiquer auraient donc encore lieu, mais ne suffiraient plus. La somme des moments virtuels ne serait plus nulle pour les déplacements d'un point suivant des droites inclinées au plan tangent, quoique ces déplacements soient compatibles avec les condilions de la question. Elle serait égale au moment de la résultante; or celui-ci est négatif, puisque la résultante doit appuyer le point sur la surface. D'où l'on conclul que, dans l'équilibre d'un point posé sur une surface, la somme des moments virtuels des forces est nulle quand le point se déplace sur la surface, et négative pour tous les autres déplacements qu'il peut subir.
99. Si nous considérons maintenant les diverses macbines simples, en équilibre sous l'action de deux forces
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seulement, il est facile de reconnaître que les conditions connues conduisent à celte proposîlion générale :
Si deux forces sont en équilibre sur un pareil sysiènic, leurs intensités sont récipro^iuement proportionnelles aux longueurs obtenues en projetant sur leurs directions les espaces qui seraient parcourus par leurs points d'application, si Von faisait passer géométriquement le système dans une position infiniment voisine, en satisfaisant toujours aux conditions auxquelles il est assujetti.
Cette proposîlion peut être cliangée dans l'égalilé des produits des extrêmes el des moyens. Et si l'on observe que les deux projections des espaces parcourus sont dirigées, l'une dans le sens de la force et l'autre en sens opposé; que, de plus, on convienne de prendre la première comme positive, et l'antre comme négative, la propriété générale de l'équilibre des machines s'énoncera ainsi :
Lorsque denx forces sont en équilibre sur une machine quelconque, la somme des produits de ces forces par les déplacements infiniment petits, et simultanément possibles, de leurs points d'application, projetés sur leurs directions respectives, est égale à zéro. Et réciproquement, si cela a lieu pour tous les déplacements possibles, il y a équilibre.
La même proposition s'étendrait au cas où les forces en étpilibre sur la machine seraient eu nombre quelconque.
100. Cas d' un systèmerigide quelconque. — Considérons maintenant un système quelconque de points liés entre eux d'une manière invariable, ou, en d'autres termes, un corps solide quelconque; ce qui comprendra les cas particuliers des lignes ou des surfaces rigides, que nous ne traiterons pas à pan, pour ne pas trop multiplier les détails.
Les conditions nécessaires et suffisanles de l'équilibre d'un corps solide sont, en désignant par X, Y, Z les composantes positives ou négatives de la force appliquée au
point quelconque dont les coordonnées rectangulaires sont
2(jZ-^Y):^o, 2i>X-.^Z) = o, ^{^Y-jX) = o.
I! s'agit de démontrer que ces conditions entraînent celle que, pour tout déplacement infiniment petit du système rigide, la somme algébrique de tous les moments virtuels des forces appliquées, soit nulle, et réciproquement : condition qui, d'après l'expression générale donnée précédemment pour le moment Pô/;, s'exprimera par l'équation
dx, hj^ âz désignant les variations algébriques des coordonnées rectangulaires .v,j, z, en passant de la position donnée à une autre voisine quelconque, si le corps est entièrement libre; et compatible avec ses liaisons, s'il en existe. Rappelons-nous, pour cela, qu'en géométrie il est démontré, dans la théorie des déplacements des systèmes rigides, que tout déplacement infiniment petit d'un corps solide peut être regardé comme le résultant de deus autres : l'un de translation, par lequel un point quelconque, considéré comme lié au système, passera de sa première à sa seconde position ; l'autre de rotation autour de ce point, et qui peut être remplacé par trois autres effectués successivement autour de trois axes passant par ce point, en partant toujours de la position occupée par le corps après la translation. Les sommes algébriques des variations des coordonnées de cbaque point dans ces divers mouvements, seront, en négligeant les infiniment petits du second ordre, les accroissements Sœ, ây, Sz, relatifs au passage de la première position du corps à la seconde.
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134 DE l'équilibre des forces.
Le point dont le déplacement constitue la translation du système étant arbitraire, nous choisirons pour cela l'origine A des coordonnées, et nous désignerons par a, b, c, les composantes de son déplacement.
Soient a, ê, y les rotations infiniment petites qu'il faut opérer autour des axes des x, y, z, supposés rectangulaires, pour obtenir, comme nous l'avons dit, la nouvelle position du corps ; ces quantités, considérées comme entièrement indépendantes, correspondront à toutes les positions possibles autour du point fixe. Si le corps n'était pas entièrement libre, il ne pourrait prendre toutes les positions, et a. S, y ne seraient plus entièrement arbitraires; et il en serait de même de a, b, c; ûiaisnous supposerons d'abord que le système ne soit nullement gêné dans ses déplacements, et puisse être transporté dans une position quelconque.
Cela posé, la rotation a autour de l'axe AX fera varier les coordonnées X, r, s d'un point quelconque, des quantités respectives o, — az, -i-ary,. . . . Désignant ces variations partielles par la caractéristique 5, , nous aurons donc
Désignant de même par <?>, J3 les variations provenant des rotations o, y, nous aurons, en changeant les lettres x, y, z les unes dans les autres suivant la loi, plusieurs fois rappelée,
S.,y = o, S,z = — Êj;, S,.i: = Si , 5j 3 = o, Sj.r -^ — ■^j, lîj j- = ■j a?.
On aura donc, d'après ce qui précède, 3j: = a + Sz ~ ty, Sy = b -\--ix~ff-z.
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et par suite
= '^{a-S. + tY -h cZ] ou, en léanissant les cofficlents dos mêmes indéterminées,
Or si le corps est en équilibre, les coefficients de «,&,,c,iz, 6, y
soiU nuls (n" 56) ; et par conséquent 7.(X âx -[- Y ôy -1- Z 6z)
est nul pour tous les déplacements inGniment petits de ce corps. Réciproquement, si cette dernière condition a lieu, il faut que le second membre soit nul, quels que soient (I, b, c, a, S, y; ce qui exige que leurs coefficients soient nuls séparément : d'où résultent les six équations connues de l'équilibre. On conclut de là que :
Pour qu'un système rigide libre, sollicité par des forces quelconques, sott en équilibre, il est nécessaire et suffisant que, pour tous les déplacements infiniment petits de ce système, la somme des moTnents virtuels des forces soit égale à zéro.
101. Remarque. — Si un système de forces appliquées à un corps solide libre n'est pas en équilibre, mais peut se réduire à une force unique, le moment virtuel de cette résultante sera égal à la somme de ceux des composantes. Car il y aurait équilibre en introduisant une force égale et
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opposée à la ri'sultanit'; la somme des moments serai (donc nulle : et comme celui de la force introduite est égal et de signe contraire à celui de la résultante, il s'ensuit que ce dernier est égal à la somme de ceux des forces données.
102. Considérons maintenant un corps solide qui no soit pas entièrement libre, et dont certains points soient, ou fixes, ou assujettis à rester sur des lignes ou des surfaces fixes; et supposons des forces en équilibre sur un pareil sysième. Les surfaces ou lignes fixes ne pourront produire que des forces qui leur seront normales, et les points fixes pourront en produire dans des directions quelconques. Or, si l'on introduisait ces différentes forces inconnues, l'équilibre aurait lieu entre elles et les proposées, en supposant ce sysième entièrement libre ; et, par conséquent, il est nécessaire et suffisant pour l'équilibre que la somme des moments virtuels, tant des forces données que des nouvelles forces introduites, soit nulle pour tous les déplacements possibles du système considéré comme libre.
Mais si Ton choisît seulement les déplacements compatibles avec les liaisons données, les moments virtuels seront évidemment nuls pour chacune des forces inconnues, et par conséquent :
La somme des moments virtuels des forces données sera nulle pour tous les déplacements du corps qui sont compatibles avec ses liaisons.
Réciproquement, si la somme des moments virtuels des forces données est nulle pour tous les déplacements compatibles avec les liaisons, le système sera en équilibre.
En effet, supposons qu'il n'y soit pas et que sous l'action de ces forces il prenne un certain déplacement. On pourra, en introduisant de nouvelles liaisons, s'il est nécessaire, rendre ce seul déplacement possible, par exemple en fixant les courbes décrites par les différents points, et assujeiiis-
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