CHAPITRE

sant ces [loiiils r ne pas les quitter. Ces «ouvcllcs liaisons n'empérlicronl pas le déplacement d'avoir lieu ; et par conséqueut, dans la supposilion où nous nous sommes placés, il faut admettre que les forces données ne seront pas en équilibre, maigre l'introduction de ces nouvelles liaisons. Or, si cela est, on pourra introduire une force qui mettra le sjstème en équilibre; car il suffira de la faire agir suivant la tangente à la courbe décrite par un quelconque des points, en sens contraire du déplacement de ce point, el avec une inlensilé égale à celle que produirait un obstacle fixe opposé en ce point sur la courbe. Mais l'équilibre ayant lieu, la somme des moments virtuels des forces données et de cette dernière devrait être nulle, pour le déplacement en question; el comme le moment de la dernière force n'est pas nul, puisque le déplacement est dans sa direction même, la somme des moments des forces données ne serait pas nulle; ce qui serait contraire à l'hypothèse, 11 ne peut donc y avoir aucun déplacement si la somme des moments des forces est nulle pour tous les déplacements compatibles avec les liaisons du système. On peut donc énoncer la proposition suivante :

Lorsqu'un coi'ps solide n'est pas cnlièrement libre, il est nécessaire et suffisant, pour tju'il soil en équilibre, que la somme algébrique des momenls virtuels des forces qui y sont appliquées, soit nulle pour tous les déplacements infiniment petits compatibles avec les liaisons données.

Remarque. — Le cas d'une droite rigide dont les différents points sont sollicités par des forces quelconques, rentre dans le cas générarquî \ientd'ôtre traité, et par conséquent les mêmes conclusions s'y appliquent. Rien ne serait plus facile d'ailleurs que de le traiter directement. On commencerait par remplacer toute force appliquée en un point quelconque de la droite par deux autres parallèles, appliquées à ses extrémités, ce qui n'altérerait pas la

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somme des moments virtuels. La démonstration s'achèverait alors sans difBculté, puisque ces deux forces, en y comprenant les résistances des surfaces ou lignes, s'il y en a, devront être égales et directement opposées.

103. Exemple d'un système flexible. — Considérons maintenant un fil flexible et inextensible, assujetti à passer par un point fixe sur lequel il peut glisser.

ÎVous avons vu qu'un fil qui n'éprouve que des résistances nurmales en tous ses points, excepté à ses deux extrémités, a partout la même tension, et que par conséquent les deux forces qui y sont en équilibre, sont égales et tendent à le mouvoir en sens contraire.

Ce cas général renferme celui où le fil passe sur des surfaces qui ne produisent aucun frottement, ou dans des anneaux, ou par des points fixes : et, dans la réalité, ces deux derniers cas rentrent dans le premier. Ainsi, dans la question qui nous occupe, les deux forces en équilibre sur le fil sont égales et tirent le fil en sens contraires.

Or la liaison des deux points extrêmes où sont appliquées les forces consiste en ce que le fil soit toujours tendu, sans quoi il n'v aurait aucune action transmise par lui, et aucune liaison entre les deux extrémités. Nous prendrons donc comme condition des déplacements virtuels, que la somme des distances des deux points extrêmes du fil au point fixe sur lequelil peut glisser soit constante.

En entendant de cette manière la liaison des deux points extrêmes, les projections dps deux parties du fil sur leurs directions avant le déplacement virtuel, donneront donc aussi la même somme, aux infiniment petits du second ordre près; et par conséquent les projections des déplacements virtuels des extrémités sur ces mêmes directions, seront égales, en négligeant les infiniment petits du second ordre, et de plus seront dirigées d'une manière ditférente

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.-.[lAPlTRE VI. 129

par rappoit aux deux forces. D'où îi suit que la somme des momODls virtuels de ces forces sera uulîe, pour tout déplacemenl compalible .ivec les liaisons.

Ttéciproquemenl, si cette dernière condition était remplie, les forces seraient égales et tendraient à faire mouvoir le fil on sens contraire; il y aurait donc équilibre.

Remarque. — Tout ce que nous venons de dire s'applique au cas où le fil passerait par plusieurs points fixes, et sur des courbes ou sur des surfaces fixes.

101. Nous commencerons par définir avec précision le système sur lequel les forces données sont en équilibre.

Ce sysiètne peut Être composé de parties rigides d'une étendue finie, ou corps solides, et de points sans étendue sensible. Ces points, ou des points particuliers des solides, peuvent être liés les uns aus autres par des droites inflexibles et inextensibles, ou par des fils flexibles ; ils peuvent être assujettis à rester sur des surfaces ou des courbes fixes ou mobiles, sans résistance tangentiellc. Les corps faisant partie du systtNme peuvent toucher et presser, suivant la direction do la normale commune, d'autres corps mobiles et faisaul aussi partie du système, ou bien des corps fixes. Enfin les surfaces de corps appartenant au système peuvent être assujetties à passer par des points fixes, sur lesquels elles peuveuE librement glisser.

Cela posé, des forces quelconques étant supposées appliquées à des points d'un pareil système, il s'agit de démontrer que, pour tout déplacement virtuel, c'est-à-dire compatible avec les liaisons, la somme des moments virtuels infiniment petits est égale à zéro: et réciproquement.

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lio DE L EQUILIBRE DES FOT.CES.

Soit M im point quelconque, auquel sont appliquées des forces données P, Q, E , . . , , Soient F, F', . . . des actions exercées sur M par d'autres points M, M',. . , du syslènie et dirigées suivant mm', mm", ... ; ces forces seront înconuues si elles proviennent de la liaison des points par des droites de|iongueur constante; mais si ce sont des actions mutuelles dont la loi soit donnée, elles pourront s'exprimer en fonction des coordonnées de ces points, et nous les regarderons comme renfermées dans les forces P, Q, K. Enfin, soit N la force normale produite sur le point M par la résistance d'une surface fixe ou mobile, sur laquelle il soit obligé de rester. En introduisant tomes ces forces, le point M pourra être coiisidété comme libre; et s'il est en équilibre, la somme des moments virtuels sera nulle, pour tout déplacement infiniment petit, et par conséquent pour tous ceux qui seront compatibles avec les liaisons données. En entendant ainsi ces déplaceniems, on aura

aiit la variation correspondante

i seulement.

lalogues pour ebacun des autres points. Considérons ceux qui fournissent des termes dans l'équation (i). Dans l'équation relative au point m', le terme introduit par l'action de m sera F§s ("^i"')^ ^î désignant la variation relative au déplacement de /n' seul, m restant fixe. De sorte que, par l'addition de l'équation {i) et de cette seconde, les deux termes renfermant F se réduir ront à Fâ [mm'), d désignant la variation de la dislance mm' quand les deux extrémités se déplacent pour parvenir aux positions qu'elles doivent avoir, après le déplacement virtuel donné au système entier. Or, d'après l'hypothèse, mm' a une valeur constante; donc § (mm') est nul.

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