CHAPITRE VI. l3S

du genre de celles que nous avons définies, est en équilibre, sous l'action de forces extéiieures quelconques, la somme des moments virtuels de ces forces est nulle pour tout déplacement infiniment petit compatible avec les liaisons du système.

105. ftéciproque. — La réciprocfue de cette propositiou est vraie, c'est-à-dire (jiie si, pour tous les déplacements infiniment petits compatibles avec les liaisons, la somme des moments virtuels est nulle, le système est en équilibre. En effet, s'il n'y était pas, il prendrait un déplacement déterminé, et chaque point décrirait uue certaine ligne, en vertu des forces données et des liaisons. Quelles que soient ces lignes, on ne changera rien au déplacement eu introduisant de nouvelles liaisons qui ne permettraient au système que de prendre celui-là même qu'il prend, de telle sorte que le déplacement d'un seul de ses points déterminerait celui des autres. Ces liaisons étant supposées introduites, prenons le déplacement virtuel suivant ce déplacement, devenu seul possible. Pour ce déplacement, par hypothèse, la somme des moments virtuels sera nulle, c'est-à-dire sera un infiniment petit d'un ordre supérieur au premier ; et le premier ordre sera déterminé en général par le déplacement de chaque point. Si cependant, dans un cas particulier, quelques points décrivaient dans ce déplacement des espaces infiniment petits par rapport aux autres, ce sont ces autres qu'on choisirait pour déterminer le premier ordre. Maintenant considérons un des points, correspondant à un moment virtuel infiniment petit du premier ordre; et empêchons son déplacement, par exemple par un obstacle placé sur la ligne qu'il décrit, et qui produira une force opposée au déplacement qu'il tendait à prendre. Le point, et par suite le système, restera en repos, et la force introduite jointe aux forces données

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i34 DE l'équilibre des roRCES.

profluira l'équilibre. Donc, d'après la proposilion précédente, !a somme des moments virliiels sera nulle pour le déplacement dont nous venons de parier. Mais cela est impossible, puisque le moment vîrUiel de la force introduite est un infiniment petit du premier ordre, el que la somme des autres est par hypothèse nulle, ou d'un ordre

iuperieur a

On arrive donc à une contradiction

iupposanl que des forces ne soient pas en équilibre sur un système pour lequel la somme des moments virtuels est nulle, pour tous les déplacements infiniment petits compatibles avec les liaisons.

On peut donc énoncer ce principe généra! :

Lorsquun système de points, soit libres, soit assujettis à des liaisons quelconques, telles que tious les avons définies, est sollicité par des forces quelconques, il est nécessaire el suffisant, pour qu il y ait équilibre, que la somme ries moments viituels des forces ext/-rieu,res agissant sur le système, soit nulle pour tout déplacement infiniment petit compatible avec les liaisons.

C'est en cela que consiste ce qu'on appelle le principe des vitesses virtuelles .

Remarques. — i" En supposant toujours les conditions sous lesquelles nous avons démontré ce principe, il est clair que si l'on change le sens de toutes les forces, il y aura encore équilibre, puisque les moments virtuels n'auront fait que changer de signe; 2" deux systèmes de forces appliquées à des points liés entre eux d'une manière quelconque, étant dits équivalents relativement à un système de points, lorsqu'ils peuvent se remplacer l'un l'autre sur ce système, il résulte da principe des vitesses virtuelles que la somme des moments virtuels de deux systèmes équivalents est la même, puisqu'elle est égale et de signe contraire à celle du système qui est ou qui serait en équilibre avec l'un ou l'autre,

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lïcciproqiicment, si la somme des moments virtuels de deux systèmes est la même, ils seronl équivalents, car cliacun d'eux ferait équilibre au système contraire à l'autre.

■106. Pour exprimer le princijre que lions venons de démontrer par uLic formule algébrique, désignons parP,Q, R,... les intensités des diverses forces appliquées aux points du système, et par p, {j, r,... \c& distances de ces points a des points fixes pris sur les directions mêmes de toutes les forces, ou sur les directions contraires : la condition d'équilibre sera exprimée par l'équation

la somme 'v se rapportant à toutes les forces extérieures,

c'est-à-dire à celles qui ne proviennent pas des liaisons du système.

Si l'on remplace chacune des forces par ses composantes

axes A, 1, L, et qu o

>ello la for-

démontrée générale (a" 96), en tenant compte des signes de X, Y, Z, X, y, z, l'équation (a) pourra être remplacée par la suivante :

(3) '^[XS^ + YSy + Z.h) = o.

Nous allons voir comment cette équation peut donner les conditions de l'équilibre d'un système quelconque.

Supposons d'abord, comme on le fait ordinairement, que les liaisons du système puissent être exprimées par des équations entre les coordonnées de ses différents points,

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; L EQurLiBdË DES roncES.

n equ.

qui COI satîsfci

L = o, L' = o, L"^o,..., nions données entre les coordonnées di iiposent le sysième; les variaiionsdi ont aux écjuattons

points coordonnées

Si l'on tire de ces n équations la valeur de n variations et qu'on les reporle dans l'équation (3), elle en reurermera encore 3m — n, qui seront entièrement indéterminées. Et comme cette équation doit avoir lieu pour lous les déplacements qui salîsfont aux conditions du système, elle sera satisfaite, quelque valeur que l'on donne à ces indéterminées; ce qui exige que les cociEcients de chacune d'elles

uls

ml. On aura a

1 — n equ;

lires et suffisantes pour l'équilibre. En les joignant aux n équations données, on aura un nombre d'équations égal au nombre des coordonnées des points du système.

Elles pourront servir à déterminer les positions d'un certain nombie de points d'application, ainsi que les grandeurs et les directions d'un eertain nombre des forces, de manière à ce que l'équilibre ait lieu.

L'élimination de n variations entre les équations (3) et (4) peut s'effectuer de différentes manières. On pourrait tirer leurs valeurs des n équations (4) et les substituer dans l'équation (3), puis égaler à zéro les coefficients des 3m — Il resiames; mais il vaut mieux multiplier les équations (4) par des facteurs indéterminés ^, J', X",. .. , puis

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