PROPRIÉTÉ DE MAXIMUM OU DE MIMMUM

H2. Lorsque rej(pression2(Xâ'x + Yo;)' + Z(îz) sera

lavariationd'unecertainefoiictioiide j:, j-, a;x',j''z';. . , traitées comme variables indépendantes, l'equalioii donnée par le principe des vitesses virtuelles montre que, dans la position d'équilibre, cette fonction est, en général, un maximum ou un minimum par rapport à toutes les valeurs qu^elle peut prendre lorsque le système subit un déplacement infiniment petit quelconque, compatible avec ses liaisons ; le m.Inimum correspond au cas de l'équilibre instable, et le maximum au cas de l'équilibre stable. Mais cette discussion nous écarterait trop de notre objet et nous nous bornerons à cette indication. ]\ous appliquerons tout à l'heure cette proposition au cas particulier des forces parallèles produites par la pesanteur.

H3. application au cas de forces fjiielcontjues. — Soient P, P', . . . des forces en équilibre sur un système quelconque ;M,M', . . . leurs jioinls d'application. Prenons à partir de ces points, et sur la direction des forces, des longueurs finies MN,M'N', . . . proportionnelles ii ces forces, et désignons-les par p, p' , . . , , de telle sorte que l'on ait

Le théorème que nous voulons démontrer consiste en ce que

la somme jp^ + p" + . . . ou ^p' sca un maximum ou un

minimum, parmi toutes les valeurs qu'elle peut prendre lorsque, les points N, N', . . . restant fixes, les points M, M',. . . subissent un déplacement virtuel quelconque, compatible avec les liaisons du système.

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i46 DE l'équilibre des roiiCES,

F,î] effei-soiciitL^^g-, lîi) une position îufitiiment voisine

que peui prendre le point M ; H sa projeclion sur la direction de la force P; S l'angle PML; faisons ML = ^, MH = ôp.

Le principe des vitesses virtuelles donne pour tous les

déplacements possibles "vPrcosS^r o; et, par conséquent,

en multipliant tous les termes par Â",

(i) 2/.rcos9=:o, ou ^/;^/) = o,

équation qui équivaut à

Or c'est là une condition nécessaire, mais non suffisante, pour que V p' soit un maximum ou un minimum, pour

tous les déplacements compatibles avec les liaisons du système.

Pour reconnaître si réellement 5]p' *^^' "^ maximum ou un minimum, calculons exactement son accroissement. Si nous désignons par /i, la valeur 3SL de p après le déplacement virtuel arbitraire, nous aurons

p\ =/*' — 2/jrcos9 +-/■%

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