DÉTEBMISATIOH DES CENTRES DE GRAVITÉ

120, Lorsqu'un corps de nature quelconque est infiniment petit dans tous les sens, son centre de gravité est à une distance înfîninienl petite d'un quelconque des points de ce corps; car, si l'on compose successivement toutes les forces, en partant d'un point quelconque du corps, les points d'application des résultantes successives étant toujours compris entre les deux points d'application des forces que l'on compose, resteront constamment à une distance iuBuiment petite de tous les points du corps. Cette simple observation permet de ramener au calcul la détermination des centres de gravité des corps, sans aucune reehercbe préalable. Il suffira, pour cela, de les décomposer en éléments infiniment petits dans tous les sens, parce qu'alors on pourra prendre pour centre de gravité de ces éléments un point quelconque de leur surface ou de leur intérieur, ou même en dehors, et à une distance infiniment petite; car on n'altérera qu'infiniment peu les coordonnées du centre de gravité de chacun de ces éléments, et, par conséquent, son moment ne sera en erreur que d'une quantité infiniment petite par rapport à lui-même. Donc la limite de la somme des moments ne sera pas altérée, et l'on peut établir cette proposition générale :

Le produit du poids d'un corps par la distance de son

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centre fie gravUé à un plan quelconque, est égal à la limite de la somme des produits des poids de chacun de ses éléments infiniment petits en tous sens, par les distances d'un quelconque des points de ces éléments respectifs, ou d'autres points'jnjiniment voisins, à ce même plan.

Si le corps est lioniogène, le poids d'une quelconque de ses parties est égal à son volume muhîplié par le poids spécifique delà substance; mais, s'il ne l'est pas, le poids d'un élément sera égal à son volume multiplié par un poids spécifique moyen, qui ne différera que d'une quantité infiniment petite du poids spécifique de la substance en un quelconque des points de cet élément. Ainsi, dans ce cas, on multipliera le volume infiniment petit de l'élément par le poids spécifique relatif à l'un quelconque de ses points, ou des points infiniment voisins; et, en substituant ce produit au poids réel de l'élément, il n'en résultera aucune erreur dans la limite de la somme des poids, et de leurs moments.

Ces propositions peuvent facilement être exprimées par des formules infinitésimales.

Désignons par p la fonction de x,j, z qui représente le poids spécifique en un point quelconque du corps; par P son poids total et par x,, y^, Zj les coordonnées de son centre de gravité; on aura, pour déterminer ces quatre quantités, les équations suivantes ;

P.j^, := \ \ j pxilxdjdz, ?3^-=J i jpyd^dydz, 'î dxdydi.

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i58 DE l'équilibre des forces.

Les trois dernicres s'obtiennent en prenant les moments de tous les éléments du corps par rapport aux (rois plans coordonnés rectangulaires.

Les intégrations doivent être faites dans toute l'élendue dn corps. Elles se simplifient beaucoup lorsque le corps est homogène, p n'étant plus alors qu'un fadeur constant.

Si les points étaient déterminés par des coordonnées polaires r, 9, tf/, on prendrait toujours les moments par rapport aux trois plans coordonnés, et on déterminerait encore les coordonnées rectangulaires x,, yy, Si du centre de gravité; on pourrait ensuite en déduire ses coordonnées polaires/-,, 0,,i^,.

Les quatre équations précédentes seraient remplacées par celle '

^-ffP^