cos -h d 9 di,(lr
Vf, = f f h" ' sin- 0 sia ■]> d% d-i/ dr,
Vz,~ I j jprHmOcosÙdQd-^dr.
Les intégrations s'effectueront dans toute l'étendue du corps suivant les règles données dans le calcul intégral.
On obtiendrait semblablement les formules relatives aux centres de gravité des surfaces et des lignes. Pour ces détails et les applications particulières nous renverrons aux traités spéciaux.
DIVERSES PKOPRlr.TÉS DES CEKTEES DE GRAVITÉ.
121. Propriété de maximum et de traiter cette question avec toute la généralité qu'elle comporte, il faut définir avec précision ce que l'on entend par
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li; centre de gravité d'un système dont la forme est yariable.
Les règles que nous avons données pour la composition des forces, supposent que les points auxquels elles sont appliquées sont liés invariablement entre eux ; elles ne s'appliqueraient pas s'il en était autrement, et des forces parallèles appliquées à un système non rigide ne donneraient ni résultante, ni centre des forces; la pesanteur ne donnerait donc pas Heu à la considération d'un centre de gravité pour un pareil système, et une seule force ne pourrait pas remplacer les forces données.
Néanmoins, en considérant que des propositions importantes qui s'expriment très-simplement au moyen du centre de gravité d'un système rigide, auraient un énoncé plus compliqué dans le cas d'un système variable, tandis que, par une légère extension de définition, un seul énoncé suffirait pour tous les cas, on a fait ce que nous avons fait ressortir tant de fois, et l'on a donné la définition suivante du centre de gravité : « Le centre de gravité d'un système » rigide pesant, est le point d'application de la résultante » des forces produites par la pesanteur: et, lorsque le sys- 1) icrae est variable, c'est le point qui serait le centre de » gravité ainsi conçu, si à l'instant que l'on considère le 11 système devenait rigide, avec les positions relatives » qu'ont alors tous ses points, ii
122. Cela posé, considérons un système quelconque de corps pesants liés entre eux d'une manière quelconque; prenons l'axe des z vertical, en sens contraire <ie la pesanteur : désignons par p le poids spécifique en un point quelconque et par dv l'élément de volume. Les trois composantes de la force appliquée à dv auront pour valeurs
X = o, T = o, Z = —pdv,
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l6o DE L ÉQUILIBRE DES FOKCES.
et le principe des vitesses virtuelles donnera ^^Xèz ^= o, ou
oz étant raccroisseinwnt que le déplacement virtuel du système fait prenclj'e au z d'un point de l'élément inliniment petit dont le poids csl pàt-,
Ov pduSs est l'accroissement que subît le produit zpdi-
par ce déplacement, et par conséquent XpJiJ ^z est l'accroissement que prendra jzpdv. L'équation précéderue devient dojic
Syzpih = o.
Mais si l'on désigne par P le poids total du système et par z, le z du centre de gravité, on aura
y^pd^^Vz,,
el, par suite,
ou simplement
Les variations désignées par (î se rapporleut à tous les déplacements virtuels des points du système, compatibles avec leurs liaisons entendues avec la généralité que comporte le principe des vitesses virtuelles; et Zj est l'ordonnée du centre de gravité entendu comme nous l'avons indiqué précédemment.
On peut donc dire qu'en général Zi est maximum ou minimum; ce qui donne cette proposition remarquable :
Lorsqu'un système de points pesants, assujettis à des
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cHApriRE viu, i6i
liaisons quelconques est en équilibra, son centre fie gravité est généralement le plus haut on le plus bas possible.
123, Autres propriétés. — Soit un nombie quelcoiir|ue decorpsayatit respectivement pour poids />,p', p" ,.. .et dont les centres de gravité respectifs soient distants du centre de gravité de leur sysième, de quantités p, p' , p", . , . ; prenons ce centre pour le point de rencontre de trois ases rectangulaires avec lesquels les lignes p, p', p", . . . fout les angles a, S, y, ce', ê', '/,. .. . f-e théorème des moments donnera, relativement aux trois plans coordonnés,
^/'Pcosa^^o, 2;)pcosS = 0, '^ppcof,y = o.
Donc il y aurait équilibre entre des forces appliquées à un point situé à l'onginn, c'est-à-dire au centre de gravité du système, dirigées suivant les droites p, p', . . . , et proportionnelles aux produits pp, p'p'. La réciproque est
Si les poids;», p',--. sont égaux, les forces soni proportionnelles aux distances du centre de gravité du système, aux centres de gravité des poids <'gaux qui le composent.
12i. Si maintenant on ajoute les carrés des premiers
membres des équations (i), on obtient, en désignant par pp' l'angle des deux rayons p et p',
^/'y +'^^PP'?P' <^ospp' = o.
Mais p' -î- p" — app'cospp' = r^, r élam la distance des centres de gravité des corps p, p'; donc
y,!''?' +2/'/'' ip' -*- p" — '"') = <*■
Tous les termes qui renferment p' ont pour expression np*[p + p' -i- /)"-!-.. .), et l'on en trouverait de sem-
l6'll DE l'équilibre des rOBCES.
blables pour p", f"% - . . ; de sorte qu'en posant
P + p' ^- p"^... = V, on aura
Si tous les poids sont égaux et en nombre m, on a
Cette dernière proposilion est un cas particulier de la suivanle, où l'on suppose tjue l'origine des coordonnées est un point «quelconque de l'espace. Le théorème des moments donne alors, en représentant par R la droite menée de l'origine au cenlre de gravilé du système; par a, &, c les angles qu'elle fait avec les axes; par p, p',. . . les distances de l'origine aux centres de gravité des corps /;,/?', , .., et par ce, Ê, y, y,', 6', y', ■ • ■ '^s angles que ces droites forment avec les axes,
PRcos«=^;>pcos«,
PRcosi=2;;pC0Se,
PR cosc =z\jif C0S7,
d'où, en ajoutant les carres des membres de ces équations, et observant que les seconds membres sont les mêmes que dans, le cas précédent,
De celte équaiion on conclut que si la distance R du centre de gravilé d'un système à un point Jîxe {/iielconque restant constante, ce système invariable de forme se déplace d'une manière quelconque, la somme des produits
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fies poids par les carrés des dislances de leurs centres de gravité à ce point fixe, sera constante.
E(i elTel, R étaiu constant ainsi que les dîsonces désignées par r, il en résulte que >!p/3' esi coiisianl.
On voit encore que ^FP' "^^^ ^^ p'^^ petit possible quand R = o, et par conséquent le centie de gravité d'un système jouit de celte propriété, que la somme des produits des poids parles carrés des distances de leurs contres de grnfité respectifs à ce point est un minimum.
12S. Le volume \, cugendré par la surface plane comprise entre deux courbes dont les ordonnées sont-v', Y, et deux parallèles à l'axe des y, correspondantes aux abscisses Xi, X, a pour expression
du centre de is désignerons
Aj, = - j {Y'—y-\dx;
Mais l'ordonnée y j du centre de gravité de la surface ( question, dont nous désignerons l'aire par A, est donni par l'équation
donc
et, par coiiséquent, le volume engendré par une aire plane, tournant autour d\in axe situé dans son plan, est égal au produit de cette aire par la circonférence décrite par son centre de gravité.
126, La surface A, engendrée par la révolution d'un arc de courbe plane, tournant autour d'un axe situé dans
DE l'équilibre dks forces.
i pour expression
Mais l'ordonnée j, du rentre de gravité de l'are s est do) née par l'équalîon
donc
el,par conséquent, l'aire engendrée parun arc de courhe pliine, tournant autour d 'un axe situé dans son plan, esf égale à cet arc multiplié par la circonférance décrite par son centre de gravité. Ces deux propositions constituent ce ([ne l'on appelle le théorème de Guldin.
Les aires ou les volumes décrits dans une partie quelconque de la révolution, étant proportionnels à l'angle dont la figure a tourné, il s'ensuit que, pour en avoir la mesure, il faudra prendre l'arc décrit par le centre de graviié, au lieu de la circonférence entière.
Extension de ce théorème. — Si une surface plane tourne successivement autour de plusieurs axes, le volume engendré s'obtiendra en multipliant son aire par la somme des arcs parcourus par son centre de gravi té. Cette proposition, étant indépendante de la distance des axes, a lieu encore quand ils se succèdent à des distances infiniment petites, pourvu qu'ils soient toujours dans le plan de la surface mobile ; et, dans ce cas, deux axes consécutifs peuvent être parallèles on se rencontrer.
Par exemple, si l'on suppose une courbe plane, ci que la surface génératrice se meuve de manière que son plan soit toujours normal à cette courbe et soit toujours percé par elle au même point, et que tous les points n'aient que des mourements parallèles au plan de la courbe directrice, on
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peut regarder un pareil mouvement comme produit par le développement du plan de l'aire génératrice, qui serait enroulé sur le cylindre qui aurait pour base la développée de la directrice : il est la limlio du mouvement qui aurait lieu autour d'axes perpendiculaires au plan de la directrice, et qui tendraient indéfiniment vers les arêtes <lu cylindre en
Si, pour plus de généralité, on considère une courbe à double courbure décrite par un point constant du plan de la surface génératrice, auquel elle soit encore constamment normale, et que l'on prenne pour axes successifs les perpendiculaires aiix plans osculateurs menées par les centres de courbure de la directrice, ou pourra encore appliquer la même proposition; car, quoique ces axes successifs ne se coupent réellement pas, on peut, en ne considérant que les limites, négliger l'erreur qui en résulterait, parce que leur distance est une quantité infiniment petite d'un ordre supérieur au premier.
On peut se représenter te mouvement, en supposant que le plan de la surface génératrice soit enroulé sur la surface polaire de la directrice, qui est le lieu des axes autour desquels s' eséculent les mouvements successifs. Si l'on déroule ensuite ce plan sans glissement, il sera constamment normal à la directrice, ei sera toujours rencontré par elle au même point. Par celte suite de rotations infiniment petites, la surface donnée engendrera un volume égal au produit de son aire par la courbe décrite par son centre de gravité. Pour que ce théorème ne subisse aucune modification, il faut supposer que la surface génératrice ne \ieune jamais couper les axes de rotation successifs.
ÉQUILIBRE oVîV FIL PESAKT.
127. ]\ous avons donné précédemment les équations d'Ajuilibre d'un fil sollicité en tous ses points par des forces
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i6f} DE l'équilibbe des forces.
quelconques; le calcul en est irès-simple dans le cas où toutes ees forces sont produites par la pesanteur.
D'abord puisqu'elles sont toutes parallèles, tous les points du fil seront dans un plan parallèle aux forces, et par conséquent vertical. Il suffira donc do prendre deux axes de coordonnées dans ce plan.
i" Supposons en premier Heu le ûl homogène ; désignons par s le poids de l'unité de longueur; prenons l'axe des x horizontal, et Taxe des y vertical dans le sens contraire à la pesanteur; on aura
X = o, Y — -t, et les équations générales se réduiront à
et l'on en déduit immédiatement
1^1=0, tJ- „.,+,.. .« J; = ii + £'.
lis dt dx c I
La première montre que la composante horizontale de la tension est constante.
La dernière s'intégrera facilement en commençant par la différeniier pour éliminer s. Les calculs n'offriront aucune difficulté, et nous nous dispenserons de les effectuer. Ils introduiront quatre constantes indéterminées dont il faudra trouver les valeurs d'après les données nécessaires de la question. Ces données seront les positions des deux points extrêmes, la longueur du fil et le point à partir duquel ou compte les arcs s. Mous renvoyons pour ces détails aux Traités élémentaires.
La courbe qu'affecte le fil en équilibre, et qu'on nomme c/?«f«ene,jouitde propriétés très-curieuses, pour lesquelles nous renvoyons aux mêmes Traités.
Supposons maiuienant que le poids ne soit pas propor-
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