CHAPITRE IX
APPLICATION DE LA COMPOSITION DES FOBCES CONCOURANTES A L'ATTHACTION DES CORPS.
128. Des phénomènes qui se produisent jouniellemeiU à la surface (le la terre, ontmoniré que, clans certaines circonstances, il s'établit entre des corps une force qui tend à les rapprocher ou à les éloigner les uns des autres. Les changements de position relative des corps célestes ont conduit, comme nous le verrons plus lard, à admettre une tendance mutuelle de toutes les parties de la matière les unes vers les autres; cette force attractive, entre deux molécules infiniment petites, est dirigée suivant la droite qui les joint et égale pour les deux; de sorte que si cette droite devenait rigide, il y aurait équilibre entre les deux forces.
Sans entrer dans aucun détail à cet égard, on comprendra l'intérêt qu'il peut y avoir à calculer les résultantes des attractions ou répulsions exercées par des corps continus les uns sur les autres, quand on connaît la loi de cette attraction entre deux molécules infiiiîmcnl petites dans tous les sens, d'après leur nature et leur distance.
Comme nous n'avons pas ici pour objet de faire connaître toutes les propositions relatives à l'allraction, qui pourront être utiles plus tard dans l'étude des phénomènes célestes, mais seulement de donner unie application intéressante de la composition des forces concourantes, nous nous bornerons au calcul de la résultante des attractions
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!■ lous les points d'un corps coiiliim do forme quelconque, sur un point matériel dont la position ost donnée.
Nous supposerons <ju'une même particule du corps exerce une altraclion variatic, non-seulemenl avec la distance au point attiré, mais encore avec la position de celle parlicnle daus le corps. Désignons par r celle distance, par F(r) la fonction de celte distance, à laquelle l'action est proporlionnellc , et par p une fonction des coordonnées d'un point quelconque de la particule, à laqucile cette action est encore proportionnelle, et qui dépend de la qualité de la matière qui compose le corps en cliaque point. Cette fonction p doit être conçue comme nous l'avons expliqué pour le poids spéciiîque en chaque point d'un corps non homogène. Elle peut représenter le poids spéciiîque, ou une quantité qui lui soïl proportionnelle, ou toute autre; elle se rapporte à l'unité de volume, cl doit élre par conséquent multipliée par le volume de la particule, pour exprimer l'action de celte dernière. De même la molécule a ttiréc peut être une particule d'un autre corp, pour lequel la fonction analogue aurait la valeur p', au point où se trouve celte particule; de sorte que l'action mutuelle de deux particules set a eYprimcc par
f.'Ffri,;..*', di- et dv' étant les volumes des deux particules.
Nous représenterons par p. le produit constant fi'di'', par x,j-, z les coordonnées d'un point de l'élémeul dv, par a, 6, y celles d'un point de l'élément r/i^'; l'action du premier sur le second sera dirigée suivant !a droite qui les joindra, et aura pour expression
Les composantes de celte action parallèlenieni aux trois
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lyo DE l'équilibre des forces.
axes rectangulaires, seront
et il est essentiel de remarquer que ces expressions sont générales, et que leurs signes indiquent le sens de ces composantes. Elles sont positives lorsque les composantes sont dirigées dans le sens des axes positifs, et négatives dans le cas contraire; la somme algébrique des expressions qui se rapportent à un même axe, étendue au corps entier, donnera donc par sa valeur et son signe la grandeur et le sens de la cotnposante, parallèlement à cet axe, de l'action du corps entier sur le point donné. Si donc nous désignons par X, Y, Z les trois composantes de celte action totale, nous aurons, en prenant les intégrales dans toute l'éiendue du. corps,
Y = ^f J Çf(/-^\v{r)dj=djdz, Z = (* Ç Ç U\^^^\v[r)dxdydz,
v'!»-")' + lj-s)' + (.
Il suffira répulsîo
it de les changer de signe poi
ir passer
Ces intégrales, qui s'étendent au volume enlier du corps, peuvent se réduire à une seule. En effet, en différentiant
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3artiel!emeiit /' par rapport à a, o, ■/, on oblieiit
<±__ (■^"°) dr^ (j-e) 'i:i (^ — 7) -■/ï '~ r '' df,^ r '' df'~ r '
Soit maintenant <S( (;■} une fonction dont la dérivée, pal 'apport à ;■, soit F (r) ; posons
I f,<([r)dxdydz t^ U,
et différentîous les deux membres de cette équaiion par
rapport à s(, S, j»; il suffira de différcntier sous le signe 1 ?
si f [r) ne passe pas par Tinfini, et l'on trouvera ainsi les formules suivantes :
^ lU ^ d^ ^ d-j
Tout dépend donc de la seule intégrale U.
11 est Lon de remarquer qne si, dans le cas, par exemple, d'un solide indéfini, l'intégrale U prenait une valeur infinie, mais que les dérivées partielles désignées par — > •j^f — fussent finies, les valeurs précédentes de X, Y, Z,
n en seraient pas moins exactes. En effet, prenons d' abord une portion finie du solide; les composantes de son attraction auront pour valeurs les produits de — ja par les dérivées partielles de la fonction finie U. Supposons maintenant que l'on étende indéfiniment la partie considérée du solide, les composantes de l'action seront toujours (ZU dV rfU
gue U croisse ou non sans limite. Donc, si ces trois esprf sions ont des limites, ce sont les composantes de l'attrai
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lya DE L ÉQtJlLIBnE DES FORCES.
tion du solide indéfini. Et, si elles croisseiil iiideGnimenlj on en conclura que l'attracLion croît sans limite à loesui'e <]ue l'on considère une plus grande partie du corps; c'csl ce que l'on exprime en disant que l'aliraetion du solide est infinie.
Ainsi, il suffira toujours de connaîlre les dérivés qui entrent dans l'expression des composantes X, Y, Z, sans s'inquiéter si la fonction U elle-même est Unie ou infinie. On raisonnerait d'une manière analogue si U était infini, sans que le solide le fùl.
129, Dans le cas où l'alirachon est en raison inverse du
fff'
Si le point attiré fait partie du eorps, la fonction ^{r) passe par l'infini; mais ces formules subsistent toujours. En effet, elles n'offrent aucune difficulté, si on les applique à tout le corps, moins une sphère infiniment petite qui renferme le point attiré. Or V a une limite, quand cette sphère tend vers zéro; car l'élément de volume exprimé en coordonnées polaires ayant pour origine le point attiré a pour expression r^ lir sia 6 dSd'^; or, si l'on divise par ;■, et qu'on intègre dans l'étendue de la sphère de rayon infiniment petit, on aura une quantité infiniment petite du second ordre. Il suit de là que la fonction V, étendue au corps entier, est finie, ei, par suite, ses dérivées par rap-
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