CHAPITRE IX, Ij
port aux in(1e terminées *, 6, 7 le sont aussi. On voit de même que X, Y, Z ont aussi des limites; d'ailleurs, quand les deu\ membres d'une équation ont des limites, ces limites sont égales ; doue les formules qui donnent X, Y. Z sont encore exactes quand on considère le corps entier dont le point fait partie.
130. L'attraction sur le point {a, ê, y), estimée suivant la direction du rayon vecteur r mené de l'origine à ce point, a pour expression
<^U a rfU S rfU 7
Mais en considérant U comme fonciion de », Ê, y, et ces coordonnées comme fonciion de r et de deux angles 6, tli, on a
iW dVtL rfu e -m 7
en observant que les dérivées partielles de a, 0, y par rap-
« g 7 port a r sont respectivement --.-■,-■
Donc la composante de l'attraction suivant le rayon vecleur est — « — , les deux autres composantes étant supposées dans le plan perpendiculaire à ce rayon. Dans le cas
de i' \r) = —■, cette expression devient [ij — •
jéppiication à la sphère. — Pour donner une application de ces formules dans le cas de F (/■) = ^, considérons
une splière creuse pour laquelle p soit u!ie fonction quelconque de la distance au centre. Prenons pour axe des x la droite qui joint le centre O au point attiré P, et qui est évidemment la direction de la résultante des attractions.
174 DE L ÉQUII.IBKË DES FORCES.
Désignons par n et A {Jig. 16) les rayons des deuî: surfaces qui terminent le solide, par n le rayon intérieur d'une
eouehe spliérique ayant pour épaisseur du, et par 6 l'angle
d'nn rayon quelconque ON, égal à u, avec l'axe des x, OP.
La valeur de V aura pour
BdH
L'intégration par rapport à 5 étant effectuée entre o et 71, donnera la partie de V corres[)ondante à la eouclie dont l'épaisseur est du; en intégrant ensuite le résultat par rapport à u entre les limites a et A, on aura la valeur totale
de V. Or on a
r'^ lû — aaucose 4- ï'; d'où, en observant que u csl constant.
rdr—v.aûn%d^,
V= — Ç fpududr.
Quant aux limites de »• correspondantes à 6 = 0 ei 0 =^71,
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il faut (lîslingucr le cas où le point attiré est extérieur au solide, de celui où il est*i»têrieur.
1° Si le poÎTit attiré est extérieur au solide, on aura a> A, el, par conséquent, a^w j)onr toutes les conciles que l'on a à considérer. On a alors
r* — 2« et ■V = i~f pu'da.
Si l'on pose
