ACTION D UINK COUCHE ELLIPTIQUE SUR UN POINT

iKTÉniEun.

131, La proposition que nous avons démontrée relativement à l'action d'une couche sphérique sur un poiui inléricur, peut se démontrer ge'ométriquempnl dans le cas plus général du solide compris entre deux ellipsoïdes semblables, ayant leurs axes coïncidents.

En etTct, supposons d'abord le solide homogène; soit M {^g. 17) le point attiré. Considérons-le comme

sommet d'une infinité d'angles solides, qui composent tout l'espace autour de lui, et cberchons la résultante de l'action des deiix parties comprises dans un quelronque de ces angles et sou opposé au sommet. Soit DCAB une des arêtes de cet angle; on aura AB = CD, par la similitude des deux ellipsoïdes. Si nous désignons par w la

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mesure de l'angle solide, nous pourrons décomposer le solide Ai3 en élêmenls dont les épaisseurs PQ formeront la droite AB, et dont l'expression sera tùr'dr; multipliant

par ^-j- j on aura l'atlraetioii que cet élément exerce sur le

point M; on trouve ainsi pfutàdr, et la somme p/ftw.AB exprimera l'attraction de la matière contenue dans AB, On trouvera de même pf^di.CD pour l'attraction de la matière contenue dans la partie CD ; et comme les droites AB et CD sont égales, ces attractions seront égales, et, par conséquent, se délniirout. Donc, comme il en sera ainsi pour tous les angles solides autour de M, h solide homO' gène compris entre deux ellipsoïdes semblables quelconques, n'exerce aucune attraction sur un point situé dans l'intérieur de sa plus petite surface.

Cette proposition, étant indépendante de l'épaisseur, a lieu aussi pour une couclie infiniment mince. Donc e//e ejt encore vraie pour un solide d'une épaisseur quelconque, composé de couches homogènes comprises entre des ellipsoïdes semblables, et dont la nature varie d'une manière quelconque de l'une à Vautre.

132. Surfaces de niveau. — On appelle ainsi celles sur lesquelles un point matériel posé resterait en équilibre sous l'influence des forces du système.

Considérons donc un corps quelconque qui attire un point suivant une loi quelconque; on aura, d'après ce qui précède,

„ «iD ,/n dv

pour que la résultante soit perpendiculaire à la surfaci? sur laquelle le point peut se mouvoir, il faut qu'on ait pour tous les déplacements sur cette surface,

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DE L EQUILIBHE DES FOKGES.

ce qui prouve que V est constant. L'équation des surfaces de niveau relatives à l'attiaclion ou à la répulsion du corps, est donc

c désignant une consiante arbitraire.

Quand l'attraction est en raison inverse du carré de la distance, cette équation devient V ^ c.

133. La fonction V jouit d'une propriété remarquable, qui est d'une grande utilité pour la déterminai! on de sa valmr.

D'après la valeur de i', on a

de' r'

rf'-

-ïii

Mais, puisquel'oua V= / j 1 ^, c?!' élant l'élénieiit

de volume, et que, pour difFérenlier une intégrale par rapport à des quantités considérées comme constantes dans

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CHAPiiiiE IX. lyg

l'intégration, et qui n'eiilrent pas dans les limites de celte intégrale, il suffit de diffcrentier sous le signe / ,on aura

pourvu, toutefois, que la fonction - ne devienne inlinie

pour aucuue valeur comprise dans les limites de l'inlégralion; car on sait (jue, dans ce cas, la différentiation sous

le signe I peut donner des résultats inexacts.

Donc, si le point (k,6,^) ne fait pas partie du corps attirant, on aura

d^\ cl'V d'V

Si le point fait partie du corps, on concevra une sphère infiniment petite, dans l'intérieur de laquelle il sera compris; la fonction V, considérée pour tout le reste du corps, satisfera à l'équation ci-dessus,

La valeur de p au point attiré sera aussi celle de la pet'te sphère. Les composantes de l'attraction de la sphère sur ce point, qui est daus son intérieur, seront donc res-

pectivement

--„^ff{S~b), -„p/p(./

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i8o DE l'équilibke des forces.

a, h, c étant les coordonnées du centre de la petite splièrt on aura donc, en appelant V la partie de V qui se raj porte à celle sphère,

el, pai (2)

la valeur de ^ se rapportanl au point attiré.

Nous allons montrer, par quelques exemples très-simples, comment les équations (i) ei (2) peuvent servir à déterminer la fonction V dont se déduisent les trois composantes de rattractioii.

13i. j^pplicalion à la sphère. — ■ La sphère étant supposée formée de couches homogènes, V sera fonction <!e la distance /■ du centre de la sphère au point attiré; la résultante de l'attraction sera dirigée suivant la droite qui joint

, . , . .dV

ces deux points, et représentée par ju/ — ■

L'équation r' := a' + o^ + y^ doi

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», par su

he.

rfc" ~

dr'

dp ~

dr'

-df-

d'V dr-'

et ajoutant ces Iroîs dernières éijuatîons posant d'abord le point hors de la =plici

qui 1 ti pliai

La fonction V dépend dono alors d'une équatii renferme pas de différentielles partielles. En la ni

par r^ son premier membre devient la déiîvée de f^-j-'

On aura donc, en désignant par c une constante arbitraire,

dV c

Supposons d'abord que la sphère soit creuse el que le point soit dans l'intérieur de la plus petite sui'face, dont nous désignerons le rayon par Ri^ L'attraction devant évidemment être nulle pour r ^ o, il faut qu'on ait

Donc les composantes de Taliraction sont toujours nulles, et le point est en équilibre, quilque position qu'il occupe dans la partie vide de la sphère.

Supposons, en second Heu, que le point fasse partie du

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l8a DE L ÉQUILIBRE DES FORCES.

volume de la sphère, on a

d-'\ 2 dV

p étant une foociion donuce de r.

Multipliant par /■' ei inlégrant à partir de E,, il vieiil en observant ijue — élant nul pour tous les points de l'ir térieur, l'est aussi à la limite R,,

pdr par M', on aura

Désignant / 4

rfy__ M^

fx/M'

La valeur absolue de l'altraciiou sera donc ; elle est

le même que sï l'on réunissait au centre tous les éléments de matière compris entre les sphères de rayons R, et r.

Si le point attiré est sur la surface extérieure ayant pour rayon R, on aura, en désignant par M la somme relative à tous les éléments de la sphère creuse, d'v M rf? ^ ^ R>'

et l'attraction exercée sur le point aura pour expressioji

Enfin, considérons un point extérieur à la surface, c'està-dire pour lequel on ait r>. R, on aura, comme dans le premier cas,

dV c

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