CHAPITRE X
des formules
l'équation de l'ellipsoïde deviendra
— COSç + — COS:] H ; COSi
Considérani un angle solide dm ayant son sonimei au poinl M, et calciilanl l'action de la pyramide comprise dans cet angle, sur la matière de l'unité de volume concentrée au point M, on aura
/■ ayant la valeur ci-dessus pour les valeurs de £, ïi, ^ relatives à Mm, et y désignant l'attraction de la matière de l'unité de volume sur une égale quantité, concentrées chacune en un seul point, et placées à une distance égale à l'unité.
En décomposant celte force frdin parallèlement aux axes, on aura
yVrfwi'os^, y"rrfiu cos 11 , ^rAcosÇ.
Il ne reste plus qu'à faire la somme de ces expressions lorsque le rayon Mm prendra toutes les directions, du côté dn plan langent, où se trouve l'ellipsoïde. Or, comme on n'aura que des produits de deux cosinus, les directions contraires donneraient les mêmes valeurs, et on pourra faire les sommes pour toutes les directions autour de M, puis eu prendre la moitié.
Le numérateur de chacune des composantes à intégrer renfermera trois termes, dont l'un contiendra le carré d'un cosinus, et les deux autres des produits de cosinus diffé-
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loS DE L ÉQUILIBRE DES FORCES.
reiils ; quani au dénominateur, il ne comleiilquedcs carrés de cosinus. II est donc facile de voir que les éléments des sommes qui ne correspondent pas aux termes reufernianl les carres se détruisent deux à deux; de sorte que les composantes X, Y, Z de l'action totale de l'ellipsoïde sur le point M ont pour expressions, en représentant le dénominateur commun par p,
Pour effectuer ces calculs, il faudrait d'abord exprimer un des trois cosinus au moyen des deux autres; mais alors la symétrie qui avait eu lieu jusque-là disparaitraîl ; il sera préférable d'employer les deux angles que l'on choisit ordinairement, et il suffira de remplacer cos^, cosï;, cos^ par les valeurs suivantes :
6 désignant l'angle du rayon vecteur avec i'axe dos X, et if l'angle que sa projection sur j"a fait avec l'axe desj'.
Nous calculerons d'abord la valeur de X; celles de Y et de Z s'en déduiront par de simples cliangements de lettres.
Dans ce nouveau système de variables, l'élément tira de la surface spliérique de rayon i aura l'expression suivante :
lia = MfiSM'l-lf,
'ffi^
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