CHAPITRE X

L'intégi-ale par rapport à ij- devra être prise enire oct an; et ensuite celle de Q, entre o et tt. Mais il est évident, d'après la forme de l'expression, qu'il suffira d'intégrer par rapport

à i[j entre o et ~, puis Je quadrupler le résultat; et qu'ensuite on pouira se borner à considérer les valeurs de S de o à -, puis à doubler le résultat. La première intégration n'offre aucune difficulté : on posera (ang^^ .',

s'9) + i'(<i'siD'S-+-(Hc<

Multipliant, comme nous l'avons dit, par 4, puis par 2,

Si pour calculer Y on prenait un système de coordonnées polaires analogues, où 0 désignerait l'angle du rayon vecteur avec l'axe des/, et i{j l'angle que fait avec l'axe des z sa projection sur xz, l'expression de Y ne différerait de

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igo DE l'éQoilibre des forces.

celle de X que par le çliangemetil de a en S et des lettres a,

i, c les unes dans les autres par le procédé ordinaire de

rotation.

On trouvera ainsi

s'Osiiierfs

VllJ-siri'H

pour donner une forme plus simple à ces trois exprt siens, nous poserons cos9 ^ ii : d'où résultera

et quelles que soient les grandeurs relatives de «, h, c, les facteurs sous les radicaux seront positifs, et les intégrations n'offriront aucune circonstance particulière, dans les limites où elles doivent être effectuées ; mais on ne pourra obtenir leurs valeurs sous forme finie, à moins que deux des trois axes de l'ellipsoïde ne soient égaux, auquel cas cela devient très-facile, comme nous allons le voir.

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Si t'on pose — — — ^^ ^°i ^ ^i:i'^, on peut, au

moyen de cerlaines transformations, donner à Y et à Z une forme telle, que leur détermination se ramènerait à celle de X par de simples différenti allons par rapport aux paramètres }., 7,'. Mais, comme on ne peut avoir l'expression générale de X sous forme finie, cotte réduclion, pour laquelle nous renvoyons aux Traités spéciaux, ne pourrait être appliquée que dans les cas particuliers que nous allons traiter directement.