AUTRES SOLUTIONS DU PROBLÈME DE L'ATTRACTION DES ELLIPSOÏDES

La théorie que nous venons d'exposer est complète et connue depuis longtemps. L'attraction d'un ellipsoïde homogène sur un point de sa surface, y est ramenée au plus grand degré de simplicité dont elle soit susceptible. L'attraction sur un point extérieur s'en déduit immédialement, soit par le beau théorème d'ïvory, soit par celui de iVlacIaurin; et ce dernier pouvait être démontré dans toute sa généralité, soit d'après celui d'ïvory, soit directement par la rcmarquahie analyse de 0. Rodrigues. Nous pourrions donc nous borner à ce qui précède; mais nous ne croyons pas pouvoir nous dispenser de dire quelques mots des imporianls travaux de M. Chasles sur le même sujet; on en trouvera l'exposé complet dans les Traités de Mécanique.

152. I^KMME. — Si Von considère deux ellipsoïdes seitihlables E, fi, et d^une autre part deux ellipsoïdes E', e', semblables entre eux, mais non aux premiers, et ayant entre leurs axes les mêmes rapports que les premiers, si E et E' sont homofaux, e et ^ le seront aussi.

Nous donnerons le nom de couches homofocales aux volumes compris respectivement entre les ellipsoïdes E, e cl E',e'. En effet, en passant de E à <?, les distances focales ont varié dans le même rapport que les axes de ces ellipsoïdes semblables, et il en sera de même dans le second système. Or le rapport des axes est le même dans les deux

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ao6 DE l'équilibre des forces.

systèmes ; il en sera donc de même des rapports des exccn- Iri ci tés, donc ces excentricités étant les mêmes pour E et E', elles le seront pour e et e'.

II est inutile de dire qu'aucun autre ellipsoïde que e', semblable à E' ne pouvant être liomofocal avee a', ne pourra l'être avec e. On voit aussi qne, réciproquement, si les ellipsoïdes E, E' sont homofocaux, e et e' le sont aussi ; que le rapport des axes de E et e sera le même que pour E' el e', et que, par suite, le rapport des différenees des axes à ces axes mêmes, sera le même.

153. Réduction du Vattraclion d'uJto couche ellipsoïdale sur un point extérieur.

Considérons une couche terminée par deux surfaces ellipsoïdales semblables E, e, telles que les différences de leurs axes homologues soient infiniment petites ; nous allons ramener son action sur un point extérieur M à celle qu'exercerait sur ce point une autre eouche, dont la surface extérieure passerait par M et serait avec la première dans les conditions du lemme précédent.

Désignons par E', e' les deux surfaces semblables et liomofocales rcspeciivemenl avec E et e qui terminent celte couche, dont la première E' passe par M.

Les surfaces E el E' étant considérées comme eorrespondantes, les surfaces e el d, pour lesquelles le rapport des axes est le même que pour E et E', seront aussi correspondantes dans le même système. D'où il suit que si l'on décompose la couche Ee en éléments infiniment petits dans tous les sens, terminés par des surfaces quelconques, les surfaces correspondantes partageront la couehe E'e' en élémenls dont le rapport avec les premiers sera le produit des trois rapporta des coordonnées de même nom; el, par conséquent, ces éléments seront comme les produits des irois axes des ellipsoïdes correspondants: et leurs sommes, et

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