CHAPITRE XIII

par suite les volumes des couches, seraient dans rapport.

Maitileiiant si nous divisons le volame do ch; ment de la couche Ee par la distance an point M qui est silué sur E', et le volume de chaque élémeul de E'e' par sa distance au point m homologue de M, qui est situe sur la surface E, ces deux distances élant égales, d'après les propi'iélés démontrées précédemment, les quotients correspondants seront entre eux comme les éléments enx-mi^mes, ou comme les produits des trois axes des ellipsoïdes correspondants ; d'on il suit que la fonction désignée par V (n" 133), relatiïe au volume Ee et au point M, est à la fonction V, relative au volume E'e' et au point m, dans le rapport des produits des trois axes de E et dea trois axes de E'.

Si maintenant ou déplace le point M sur l'ellipsoïde E', m se déplacera sur E, et V sera invariable, puisque le point m reste dans l'intérieur de e"; et, par suite, V le sera luimême, puisque son rapport à V est toujours le même. D'où il suit que E' est une surface de niveau relativement a Taltraciion de la couche Ee; c'est-à-dire que la résultante de l'attraction de la couche Ee sur un point quelconque M de E', est normale à cette surface.

Celle proposition ayant lieu pour toute autre couche dans les mêmes conditions que Efl, ei correspondant à une même couche E'e', aura lieu pour cette dernière. Donc l'action sur M sera aussi normale à l'ellipsoïde E'.

Maintenant, pour avoir les composantes respectives de l'action des couches Ee, E'e' sur M, il faudrait différentier successivement les fonctions V, V par rapport à a, ë, y, coordonnées de M, et Ton obtiendrait ainsi des dérivées dont les rapports respectifs seraient celui des fonctions mêmes V et V, ou des produits des axes des ellipsoïdes E,E'; d'où se déduit cette proposition due à M, Chasles :

Pour connaître V action d'une couche infini

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comprise entre deux ellip&o'ù/es semblables sur un point extérieur, il suffît de calculer celle qu'exerce sw le même point, une couche homofocale de même ma/ière , dont la surface extérieure passe par ce point. Les résulianfes de ces actions auront la même direction, normale à l'ellipsoïde qui passe par ce point, et seront entre elles comme les volumes des couches, ou comme les produits des axes des ellipsoïdes correspondants.

Si l'on considérait une autre couche E"e" homofocale avec Ee, on aurait une conséquence semblable, et, en éliminant ce qui appartient à E'e', on verraîl que les actions des couches Ke, E"e" sur M sont de même direction et proportionnelles aux produits des axes de leurs surfaces extérieures ou de leurs surfaces intérieures.