CHAPITRE IV. — RAPPEL DES RAPPORTS ENTRE LES ORJKTS. ig'i

vexe, d'un nombre impair de côtés, les côtés et les angles opposés forment deux sortes d'objets : ces objets sont en même nombre et se correspondent respectivement. Dans une équation algébrique de degré m, où le premier coelficient est Tunité et oîi les autres sont représentés par des lettres, ces derniers forment une sorte d'objets et les racines de l'équation en forment une autre; ces objets sont en même nombre m dans les deux sortes; mais ils ne se correspondent nullement, chaque coefficient dépendant symétriquement de toutes les racines et ne se rapportant spécialement à aucune d'elles. Il est bien évident que, si dans un problème quelconque figuraient toutes les racines de l'équation précédente, mais ne figurait qu'un seul de ses coefficienls littéraux, les m racines d'une part, le coefficient unique de l'autre, constitueraient deux sortes d'objets. On pourrait dire que l'objet unique conespond à l'ensemble de tous les autres.

484. Au lieu de c onsidérer simultanément, dans le sjsltme qu'on étudie, deux sortes seulement d'objets, on en pourrait con.^idérer trois, quatre, ..., les objets contenus en chacune d'elles pouvant être d'ailleurs en nombres quelconques, égaux ou inégaux. Il faudrait examiner aussi quels genres de correspondances existent entre ces diverses sortes prises deux à deux, liois à trois, ..., ou même toutes ensemble.

48o. Les signes deviont reproduire ou, du moins, rappeler tout ce que nous auront appris les comparaisons entre les différentes sortes d'objets du système qu'on étudie. En particulier, ils devront rappeler si les objets constituant deux ou plusieurs sortes se correspondent ou ne se correspondent point; ils devront même, lorsqu'il existe une correspondance, en montrer nettenient la nature; ils devront montrer si les objets se correspondent chacun à chacun; ou si un objet unique correspond à plusieurs, et, dans ce deriaer cas, s'il leur correspond symétriquement.

Représentation des sortes d'objets.

486. Comme nous l'avons vu, pour représenter les quantités ou nombres indéterminés, les points, les lignes, les surfaces, les forces, A. i3

19l DEUXIÈME PARTIE. — CHOIX.

les espaces, les vitesses, les nccéléralions, etc., etc., on se sert surtout, dans les Mathématiques actuelles, des lettres de l'alphabet. On peul prendre, d'ailleurs, des lettres latines on grecques, majuscules ou minnscnles, rondes, gothiques, .... On peut employer ces lettres telles quelles, ou bien les affecter soit d'indices, soit d'accents.

487. Comment représenterons-nous deux objets analomies? Par deux lettres consécutives appartenant à une même variété d'un même alphabet : par exemple a et 6; [x el v. — Comment représenterons-nous deux objets disparates? Par deux lettres, non correspondantes, appartenant à deux alphabets dirtérents, ou à deux variétés d'un même alphabet; ou bien simplement par deux lettres, prises dans une même variété, mais assez éloignées l'une de l'autre, par exemple a et k.

Deux objets analogues pourront se représenter aussi parer, et aa, par a! et a!' . Pour nous, a et a! ne seront point deux signes analogues; a et «I n'en seront pas non plus. La différence entre a et a\ entre a et a, est, à nos jeux, beaucoup plus grande que la différence entre a' et «", entre «, et a^- La lettre «, sans accent ni indice, se doit toujours rap|)orter à un objet plus important .

488. Nous représenterons les objels constituant une sorte par des lettres consécutives, appartenant à une même variété d'un même alphabet, [)ar exemple

Ce mode d'o|)érer est excellent; il doit être préféré à tout autre lorsque le nombre des objets est assez petit.

Lorsqu'il est grand, on doit se servir d'une même lettre affectée d'indices ou d'accents consécutils, par exemple

On pourrait même employer la suite i, a, 3, ... des nombres entiers, qui seraient regardes alors comme les numéros des objets.

Mais, d'après ce que nous venons de dire sur la présence et l'absence des indices et des accents, les deux suites

rt, «1. rt.2,

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seraient également faiitWes. Elles ne deviendraient correctes que dans des cas singuliers, tout à fait exceptionnels, dont nous donnerons plus tard des exemples.

489. Les objets constituant une sorte : tantôt se refusent à être mis les uns à la suite des autres dans un ordre quelconque; tantôt demandent, pour ainsi dire d'eux-mêmes, à être ainsi placés, ordonnés. Des points, situés d'une manière quelconque dans l'espace, ne sont susceptibles d'aucun ordre; les sommets d'un polygone, au contraire, doivent se succéder dans l'ordre où on les trouve lorsqu'on parcourt le polygone. En désignant ces objets, dans tous les cas, soit par les lettres consécutives d'un alphabet, soit par des lettres affectées d'accents ou d'indices, soit même par des nombres entiers, nous les représentons par des signes qui portent en eux-mêmes l'indication d'un certain ordre. Celte notation est donc tantôt excellente, tantôt fautive.

Représentation des correspondances.

490. Il est, en général, assez facile de faire passer dans les signes les correspondances qui existent entre les objets de deux sortes. Dans le cas le plus simple, celui où ces objets sont en même nombre et se correspondent chacun à chacun, si les objets de la première sorte sont représentés par a, 6, c, . . . , on représentera ceux de la seconde par A, B, C, ... ; ou par les mêmes lettres affectées d'un seul accent «', h\ c\ ... ; ou par ces mêmes lettres affectées d'un seul indice, «oj b^, Cq, ....

On pourrait aussi se servir des lettres correspondantes d'un autre alphabet; on utiliserait de préférence celles de l'alphabet grec, a, |j, V, .... Il est à remarquer à ce propos que l'alphabet latin et l'alphabet grec nous présentent des groupes de lettres consécutives qui se correspondent parfaitement : au commencement, les groupes rt, b. c. il. e et a, ^, y, û, î; au milieu, les groupes /, m, n et )., <j., V. ()n emploie, d'ailleurs, couramment, comme s'ils se correspondaient très bien, les groupesy, ^, h etcp, y, '} ; les groupes x, y, z et ;, y.. :.

491. Si les objets de la première sorte étaient représentés par

«), <72j (hi ••-■, on a', a", a"\ ..., ceux de la seconde devraient l'être : soit par A,, Ao, A3, ... ou A', A", A'", ...; soit par è,, 60, 63, ... ou b' , b'\ b'" ^ ... ; soit par a,, 7.2, ag, ... ou a', a", a"', .... On trouve à chaque instant les deux séries

"1 "2 "î «i ..., Vl t'2 ^z t'4 •..,

qui se correspondent terme à terme.

Il serait très maui'ais, selon nous, que, les objets de la première sorte étant représentés par des lettres différentes, ceux de la seconde le fussent par une mènie lettre affectée d'accents ou d'indices ; qu'au groupe «, b, c, par exemple, correspondît le groupe m', m", m!" ^ ou le groupe m,, mo, m^.

492. Au lieu de deux sortes contenant des objets correspondants en même nombre, on en pounait considérer trois, quatre ou davantage. On représenterait ces objets par des signes, analogues aux précédents, qui en montreraient les multiples correspondances. Dans les tables à double entrée, dans les déterminants, dans les matrices, il existe ainsi des correspondances entre les éléments de deux lignes ou deux colonnes quelconques. C'est l'usage de représenter chaque élément par une lettre afl'ectée de deux indices se rapportant l'un à la ligne, l'autre à la colonne qui se croisent en cet élément. Gel usage est excellent, car il montre bien les correspondances.

On pourrait imaginer des cubes, des parallélépipèdes rectangles, où chaque objet serait représenté par une lettre, afTeclée de trois indices, qui rendrait manifestes des correspondances encore plus nombreuses. On pourrait même imaginer des systèmes d'objets qui devraient être représentés par des lettres affectées de 4i 5j 6, . . . indices : les objets d'une même sorte seraient alors donnés par des signes qui ne différeiaienl les uns des autres que par un seul de ces iudices multiples.

493. Lorsque les différentes sortes d'objets qui composent un système ne com[)rennent pas toutes le même nombre d'objets, la question des notations devient souvent assez difficile. Les exeniples très nombreux et très variés que nous en donnerons dans les Cha-