CHAPITRE II. — DES FRACTIONS

43. Dans les expressions numériques où la fraction ordinaire qui suit un nombre entier présente ainsi sa barre en biais, cette fraction s'ajoute toujours à cet entier; l'expression 3 ^ j^, par exemple, équivaut toujours à 3 -{- ■^. Dans la bonne écriture mathématique, telle qu'on la pratique aujourd'hui, l'expression 3 ^, avec la barre horizontale, représente, au contraire, le produit de l'entier 3 par la fraction ^. Une foule de livres élémentaires présentent à ce sujet des confusions regrettables. C'est un point sur lequel j'aurai bientôt occasion de revenir et d'insister.

46. Quant au symbole "/o, emplové à la place de la locution pour cent, il y aurait, au contraire, une véritable faute à j placer la barre horizontalement. Ce sjmbole, en efl'et, ne représente point une fraction; il n'est même point un sjmbole malhémati(|ue. C'est Tune des abréviations, en quelque sorte techniques, qu'on emploie dans la finance et la comptabilité, concurremment avec plusieurs autres : ^/o, compte ouvert; '^jc, compte courant; etc., etc.

Fractions éqmvalentes.

47. Une même fraction, sans changer de valeur, peut affecter une infinité de formes différentes. Ainsi -j est égal à |, à |, à |, .. .. Voilà l'un des premiers exemples de ces expressions, si communes en Algèbre, qui peuvent prendre divers aspects, tout en gardant la même valeur.

On profile de l'équivalence de ces fractions et, en général, de toutes ces expressions, de deux manières et dans deux circonstances différentes : lors(pi'on a une fraction ou expression unique, pour la simplifier ; lorsqu'on en a plusieurs, pour les rendre comparables.

48. On simplifie une fraction unique, en divisant ses deux termes par un même nombre; on rend plusieurs fractions comparables, en les ramenant à avoir toutes le même dénominateur. L'Arithmétique donne des procédés faciles pour calculer, dans le cas dune traction unique, sa plus simple expression; dans le cas de plusieurs, leur plus peut dénominateur commun.

Nombres décimaux.

49. hes /raclions décima/es ne sont autres choses que les fractions ordinaires qui onl ])Our dénom'inaleiivs les puissances de lo, c'est-à-dire les |)uissances de la base même de notre système de numération. Elles doivent à cette particularité de pouvoir s'écrire et, par conséquent, se calculer à la lacon des nombres entiers.

50. Le principe fondamental de notre numération écrite, c'est que chaque chilTre placé à la gauche d'un autre représente des unités \o fois plus grandes. Ce principe, pris en sens contraire, peut s'énoncer ainsi : chaque chiflre placé à la droite d'un autre représente des unités lo fois moindres. Le chiirre placé à la droite du cluifre des unités siinples représentera donc des dixièmes; le chiflre placé à la droite de celui-ci, des centièmes; et ainsi de suite. Pour indiquer nettement le chiflVe des unités simples, on place une virgule à la droite de ce chiffre, c'est-à-dire entre le chiff're des unités et celui des dixièmes.

Celte virgule partage le nombre en deux parties : à gauche, la partie entière; à droite, la partie décimale ou mantisse. Les chiffres de celte seconde partie se nomment d'une manière spéciale chiffi- es décimaux ou simplement décimales. Dans 3 1, '-28, la partie entière est 3i ; la mantisse est 728; les décimales sont les chiffres 7, 2, 8.

51. Evidemment le nombre complet est supérieur ou inférieure l'unité suivant que sa partie entière est supérieure ou égale à zéro. Mais, pas plus c[ue |)Our les fractions ordinaires, nous ne distinguerons ces deux cas par des mots différents. Qu'il soit inférieuiou supérieur à l'unité, le nombre sera toujours pour nous un nombre fractionnaire décimal, ou même, pour abréger, un nombre décimal.

Groupement des décimales.

52. Dans la |)ratique, lors(|ue les décimales sont nombreuses, on les sépare, à l'aide d'intervalles vides, en groupes de deux, trois,