CHAPITRE IX. — OBJETS DE DEUX SORTES

608. Au contraire, une letlre sans accent'ni indice et une lettre accentuée ou affectée d'un indice constituent deux signes disparates. Toutefois, comme nous l'avons fait observer déjà, la lettre exempte de modificateur indique d'ordinaire l'objet le plus grand, ou le plus important, ou le plus ancien.

On peut très bien représenter : par a la valeur exacte d'un nombre et par a' une valeur qui n'en est qu'approchée; — par A un point de l'espace et par A' celui qu'on lui fait correspondre à l'aide d'une transformation quelconque. — C'est l'usage, en Algèbie. une fonction de x étant représentée par /'ou t, d'en représenter la dérivée pary ou^)'.

Il semble, au premier abord, en Géométrie descriptive, que les deux plans de projection soient deux plans analogues et, par suite, que les projections d'un même point de l'espace sur ces deux plans soient deux points analogues. En réalité, dans la Géométrie descriptive, comme dans toutes les Mathématiques appliquées, le plan horizontal et le plan vertical ne sont pas deux plans remplissant le même rôle : ce sont deux plans disparates. Il en est de même des projections d'un point quelconque sur ces plans. Aussi représente-t-on communément par « la projection du point A sur le plan horizontal, et par a' sa projection sur le plan vertical.

fi09. Lorsque, pour la représentation de deux objets disparates, on associe à une lettre quelconque la même lettre affectée d'un indice, on choisit très souvent V indice zéro. h», lettre M représentant, par exemple, le point mobile qui décrit une courbe, on représente par My l'une, déterminée, des positions de ce point. Les deux points considérés, qui sont évidemment deux objets disparates, sont alors représentés par M et My. Ce choix de l'indice zéro, qui est déjà très bon, deviendrait excellent si le point fixe désigné par Mo jouait le rôle d'origine, si on le considérait, par exemple, comme l'origine de l'arc MqM.

Cas singuliers.

610. Avant de choisir les lettres qui doivent représenter deux nombres, deux quantités, il importe d'examiner attentivement les rôles que jouent ces quantités ou ces nombres,

Les deux coordonnées cartésiennes d'un point sont, nous l'avons dit, deux quantités analogues : on a raison de les désigner par les lettres consécutives x et y . Il en est de même lorsque ces coordonnées sont liées par une équation quelconque, et que l'on prend tantôt la première, tantôt la seconde comme fonction de l'autre. Mais si l'on regardait constamment Tordonnée, })ar exemple, comme fonction de l'abscisse, ces deux quantités deviendraient deux quantités disparates; on pourrait alors, comme on le lait parfois dans certaines équations différentielles, désigner la variable par x^ la fonction par Y.

611. Soit à définir une transformation géométii(pie quelconque. Le point d'où l'on part et le point qui lui doit correspondre sont deux objets disparates. Le premier, qui est évidemment le plus imporlani, le plus ancien, se désignera par A, le second, qui s'en déduit, j)ar A'.

Au contraire, supposons la transformation définie, effectuée; supposons-la réversible; et considérons-en deux points correspondants. (jCS deux points seront deux objets analogues; il nous faudra les désigner par deux sii;iies analogues. Nous les appellerons P' et P", ou bien P, et Po.

61l2. Dans les quantités imaginaires, telles qu'on les considère le plus souvent en Algèbre, le coefficient de i et le terme indépendant de i sont deux objets disparates; on devrait donc, contrairement à ce qu'on fait d'ordinaire, les représenter par deux signes disparates, et écrire, par exemple, a -\- a' i ou a -f- a/. Au contraire, dans la théorie de Cauchy, c'est-à-dire dans la théorie actuelle des quantités complexes, ce terme et ce coefficient deviennent les deux coordonnées cartésiennes d'un point, deviennent, par conséquent, deux objets analogues : on a raison d'écrire a -\- bi ou x-\-yi. Encore ces nouvelles notations ne sont-elles point irréprochables, puisque, par la présence du symbole i, elles établissent une dissymétiie entre les deux termes du binôme. — La meilleure notation serait, ce me semble, celle de M. Méray ('), qui envisage les quantités imaginaires comme des cou|ilcs de quantités ordinaires se com-

(') Xouveau précis d'Analyse infinitésimale, in-S", Paris, 1872. p. 8.