CHAPITRE \. — CORRESPONDANCES ENTRE DEUX SORTES DE SIGNES. XJJ

Je trouve dans un autre l'identité

ix -h- a){T -^ b){T -~ c). . .(x ~- l) = X'" -^ Bjo;'"-'^ YiiX'"--^. . ..

où les coefficients B rappellent trop b.

Dans un autre encore, on désigne par A et B deux fonctions symétricpies des nombres «, b, c, d, . . ., sans remarquer que A et B rappellent spécialement a et b, et par conséquent excluent loute symétrie.

Objets en même nombre : usage des lettres.

64-7. On rencontre fréquemment des objets en même nombre, appartenant à deux sortes différentes, qui ne se correspondent pas chacun à chacun, ou même qui ne se correspondent en aucune manière. C'est ce qui a lieu, par exemple, lorsqu'un énoncé nous présente : trois inconnues et trois données; — les sommets de deux quadrilatères indépendants l'un de l'autre; — deux groupes de n points sans aucun rapport entre eux.

Il se faut alors garder soigneusement de désigner les objets de chaque sorte par des lettres accentuées ou aflectées d'indices numériques, car deux accents ou deux indices identiques, ou même un accent et un indice de valeurs identiques, établissent des correspondances précises, qui sautent aux jeux. Le mieux, c'est de désigner les objets de la première sorte par des lettres consécutives, et ceux de la seconde par des lettres consécutives aussi, mais éloignées des précédentes.

On pourra désigner ainsi : par a, b, c les trois données, et par x, y, z les trois inconnues dont nous avons parlé; — ■ par A, B, C, D les quatre sommets de l'un de nos quadrilatères, et par P, Q, B, S ceux de l'autre. Il est vrai que ces notations disposent pour ainsi dire dans le môme ordre, sur deux lignes, nos données et nos résultats, les sommets de notre premier quadrilatère et ceux du second; et qu'elles établissent par là une sorte de correspondance entre les objets qu'elles placent au même rang. Mais cette espèce de correspondance, qui est inévitable, n'entraîne guère d'inconvénient, vu que, le plus souvent, elle passe inaperçue.

648. Lorsque les objets se corres[)ondent chacun à chacun, et que cette correspondance est bien indiquée soit dans l'énoncé, soit \. 17

l58 DlUXIliMh: PARTIK. — CHOIX.

dans le texte, ces suites de lettres consécutives suffisent toutefois à la rappeler. Il est très bon de représenter : par M et N deux mobiles qui parcourent l'espectivement les droites (A) et (B); — par A, B, C les sommets d'uu triangle et par P, Q, R les sommets homologues d'un triangle semblable; — par A, B, C, D, E les sommets d'un pentagone et par P, (), R, S, T les sommets homologues d'un pentagone semblable.

On voit immédiatement que, dans ces deux suites de lettres, celles qui occupent le même rang- correspondeni aux sommets d'angles égaux; que, si les deux polygones sont directement semblables, on énonce ces mêmes suites en tournant autour d'eux dans le même sens, mais qu'on toiu'ne en sens contraires lorsqu'ils sont inversement semblables; et qu'il en est de même pour deux polygones, soit égaux, soit symétriques.

D'ailleurs, quand on considère deux polygones semblables, ou égaux, ou symétriques, il est toujours bon d'indiquer les côtés et les angles qui se correspondent, (certains auteurs marquent de petits traits, en môme nombre, les côtés homologues; et figurent, dans les angles égaux, des petits arcs de cercle qu ds marquent de même, à Taide de petits trails. 11 est bien évident que, dans l'enseignement oral, lorsque l'on nomme les côtés ou les sommets homologues de deux polygones semblables, on les doit toujours nommer dans le même ordre.

G49. Considérons trois points sur une courbe; on les nomme en un certain Livre J, M, N et l'on a[q3elle P, H, Q les j)ieds de leurs ordonnées : quel défaut de coi respondance ! — Je trouve, en un autre, quatre points désignés par D, (^, P, C et les pieds de leurs ordonnées respectives |:>ar A, M, N, B : pourquoi cette interversion de l'ordre alphabétique ?

Deux suites formées, l'une de lettres minuscules, laiilre des majuscules correspondantes, indiquent très bien des objets qui se correspondent chacun à cliaciin. On peut 1res bien appeler ABCD un polygone et abc<l un polygone semblable. — On th'-signe d'ordinaire par A, B, ( J, D, ... des |>oints de l'espace et par a, />, c, r/, ... leurs projections ou perspectives. — Monge (') désignait

(') .\c cil i7-|(J, mort en iSiN.

CIIVPITRE X. — CORRESPONDANCES ENTRE DEUX SORTES DE SIGNES. 25q

par A, B, C, . . . les projections (') horizontales de certains |)oinls, et par r/, b, c, ... leurs projections verticales.

On représente souvent : par x, y, z les coordonnées du point d'application d'une force et par X, li , Z ses composantes parallèles aux axes; — par .r, y, z les anciennes coordonnées d'un point et par X, Y, Z les nouvelles; — pai" />' ^li '' ^^^ nombres variables et par P, Q, R leurs limites respectives.

On peut employer aussi des minuscules et des majuscules en même nombre qui ne se rapportent point aux mêmes lettres. C'est ce qui a lieu, dans les expressions

pour les indices des racines et les quantités soumises aux radicaux: mais ce mode de notation indique moins nettement les correspondances.

6o0. Nous avons déjà dit (490) que les alphabets latin et grec nous offraient des groupes de lettres consécutives qui se correspondaient très bien. D'abord, a, 6, c, d^ e et a, |3, y, 5, s; ensuite /, /??, n et À, u., V. C'est de [)lus une habitude de faire correspondre X, y, z et ^, Tj, ^. Deux groupes de lettres ainsi constitués représentent très bien deux groupes d'objets qui se correspondent chacun à chacun. Deux nombres approchés étant désignés par A et B, on en peut donc très bien désigner les erreurs absohies par a et i. — Trois variables correspondant à trois fonctions, on a raison de représenter ces variables par x, i', ; et ces fonctions par es, y, -l ou ç, Y,, ^. — Quatre droites correspondant respectivement à cpiatre plans, on a raison aussi de représenter ces droites par A, B, C, D et ces plans par a, |j, "', o. — Pour définir deux suites de nondjres directement ou inversement proportionnels, on peut appeler a, b, c, ... les nombres de la première suite, a, [j, '', ... ceux de la seconde; écrire, dans le premier cas.

abc

et, dans le second,

Toutes ces notations nous paraissent excellentes.

^') Géométrie descriptive^ '"-4") t'ai'is, an \ll, p. (y>

26o DEUXIÈME PARTIE.

Usage des nombres pairs et impairs.

6ol. C'est l'usage, un usage excellent, d'appeler A, B, C les sommets d'un triangle et a, h. c les côtés opposés. Cet usage pourrait s'étendre à tous les [)oljgones d'un nombre impair de côtés. Mais comment désigner, en n'employant qu'un signe par élément, les côtés et les sommets d'un polygone, dont les côtés sont en nombre pair, ou plutôt en nombre quelconque?

Supposons qu'on parcoure ce polygone dans un sens déterminé. Désignant les sommets par les majuscules successives A, B, C, . . ., on pourra désigner par a le côté qui commence en A; par b celui qui commence en B; et ainsi de suite. Les majuscules désigneront les sommets; les minuscules, les côtés. C'est une première solution de notre problème.

On en obtient une seconde, en tournant autour du polygone, et écrivant successivement, sur les sommets et côtés, les nombres entiers i, 2, 3, . . .. On voit immédiatement alors que les nombres impairs marquent les sommets et les nombres |)airs les côtés, ou réciproquement. Cette notation a été employée par Beman ('), qui se servait de cliillVes romains.

Le partage des nombres entiers en pairs et impairs est, d'ailleurs, précieux pour la notation des objets de deux sortes, lorsqu'il est nécessaire d'indiquer un ordre de succession. C'est ce qu'on vient de voir sur les polygones. C'est ce qu'on observe aussi sur le mode de numérotage des maisons employé, depuis Napoléon T'"", dans les rues de Paris : les numéros pairs à droite et les impairs à gauclie.

Usage des accents et indices.

652. Les lettres consécutives, sans accent ni indice, et les mêmes lettres, aiïectées toutes d'un accent ou d'un indice, constituent deux groupes de signes qui se correspondent chacun à chacun d'une manière très pi-écise. On peut appeler : r/', />', c' les quotients des nombres a, />, c par un même diviseur; — .r', r', z' les valeurs

(') Lnseii^neniciit niat/u'ninliijuc. in-8", l'aris, t. 1, p. 17'».

CHAPITRi: X. — f.ORUESPONnvXCES KNTRE DEUX SORTES HE SIGNES. 26 1

absolues de x, y, z; — a', [j' deux infiniment petits équivalant respectivement aux deux infiniment pc^tits a et [i. — On peut représenter de même : par A', B', C, ... les extrémités des vecteurs ayant pour origines A, B, (^, ... ; — par A', B', C ou A,, B,, C, les pieds des hauteurs abaissées des sommets d'un triangle; — |)ar P', Q', R', ... les projections des points P, Q, R, ... sur un même axe; — par A,, B|, G| les points où une transversale coupe les côtés d'un triangle opposés aux sommets A, B, C; — par A'B'C le triangle sphérique symétrique du triangle ABC; — et, d'une manière générale^ par a' h' c' . . . la ligure déduite, suivant un procédé quelconque, de la figure abc . . .

653. Toutefois, comme nous l'avons déjà fait plusieurs fois observer (608), les lettres du premier groupe, par ce fait seul de ne nous offrir ni indices ni accents, impliquent, dans les objets qu'elles désignent, un certain degré (ï antériorité ou dt prééminence. Si les objets des deux groupes sont à^égale importance, si la transformation qui permet de déduire les seconds des premiers est une transformation réversible, il faaclra cjue les lettres servant à les désigner soient toutes accentuées ou toutes affectées d'indices.

Si les différentielles de certaines variables sont proportionnelles à certaines fonctions, on écrira donc

dxi dx-i dx;^ dx,i

On représentera donc une suite de fractions par

n n" II'" a d a

établissant par les accents une correspondance très nette entre les numérateurs et les dénominateurs. — On représentera donc : par ^Ki S21 ^3, ... les mesures algébriques des segments S|, So, S3, ...; — par P', P", P"', ... les pieds des ordonnées des points AI', M", M'", ...; — par A,, A2, A3, A4 et B,, Bo, B3, B4 deux groupes de quatre pôles qui se correspondent deux à deux; — par a', a'\ a"'\ ... et b', b", b'", ... les points formant, sur deux axes ou sur un seul, deux divisions homographiques. — 11 est évident : que les deux bases d'un prisme sont bien représentées par A, B, CiD, E,

■aGi Di:i Xlli.MK PAUTIK. — CHOIX.

el A-oBjC^DoE^; — (|iie Ton a raison de désigner par A,, Ao, A3, ... les points d'ap|)licalion des forces F,, Fo, Fj, ...; — cl par ^i , g-.,, ^3, ... les centres de gravité des triangles ^,, t^, ^^, . . . en lesquels on a décomposé un pol}'gone plan.

Objets en même nombre : mauvaises notations.

6oi. Pour que les correspondances qui existent entre des objets de deux sortes, se répotidant chacun à chacun, soient bien représentées, il impoite que les différences pnv lesquelles se distinguenL les uns des autres les signes des seconds objets soient de même nature que celles par lesquelles se distinguent les signes des premiers. Geux.-ci étant représentés par deux niinuscules iv et. z, il ne faut point (pie ceux-là le soient par P et y>, c'est-à-dire par une majuscule et une minuscule; — x., y cl z étant fonctions d'un même |)aramètre, ces fonctions ne devront point être désignées par /', 'j et'i/; — les degrés des é(|uations

f = o et Ci = o

ne devront j)oint être désignés non pins j)ar /n el p. Que dire de la proportion

MA m MB ~ ~n'

où Ion écrit que les longueurs de deux segments, dont les signes diffèrent par les lettres A et B, sont j)ioporlionnelles à deux nombres leprésentés par les lettres m et /^, dont la première rappelle M el dont la seconde ne rappelle rien? — Peut-on imaginer qu'on désigne par aelx les abscisses de deux points représentés par Mq et M„?

600. (j'est évidemment une faute de faire correspondre une suite iX' indices numérif/ues à une suite de lettres sans indice ni accent ; — ■ d'ap|)eler, par exemple, o,, 'Jo? 'fn 'es fondions d'un paramètre qui expriment les valeurs de x, y, z] — d'appeler de même F,, F2, F3 les forces qui ont pour points d'application respectifs A, B, C.

C'est une faute pareille de faire correspondre à ces mêmes lettres une suite d'accents. On ne doit donc point, dans un triangle, désigner par II' , h", II'" les hauteurs partant des sommets A, B, C; — ni

CHAPiriUi X. — CORRESPONDANCES ENTRE DEUX SOUTES DE SIGNES. '.(io

j)ar M', M", M" les milieux des côtés a, h, c\ — ni par /;i' m\ m" Jes longueurs des médianes correspondantes.

On représente souvent par/-', /", /■'" les rayons des cercles exinscrits respectivement tangents aux cotés a, b, r; il vaudrait mieux les nommer a. S, -'• — L'i auteur désigne par d,,, do, de les points de contact du cercle des neuf points avec ces mêmes cercles exinscrits : c'est là une bonne notation, et un emploi ingénieux des indices littéraux.

Autres mauvaises notations.

OoG. Lorsque les objets des deux sortes se correspondent chacun à chacun, leurs correspondances sont analogues, ou tout au moins d'égale importance. Il ne faut donc point, parla faute des notations, qu'une ou plusieurs d'entre elles paraissent être d'une nature particulière ou posséder une importance spéciale.

Etant donnés deux forces et leurs points d'application, il est évident que la correspondance entre chaque force et son point d api^lication est la même; il est donc mauvais d'appeler ces forces F et F' lorsque ces points sont désignés par A et B, les lettres A et F, dépourvues toutes deux d'accents et d'indices, indiquant une relation plus étroite que ne lest celle qu'indiquent B et F'. Cette notation est très mauvaise.

Il en est de même de celles où Ion désigne : par x et x' les abscisses des points P et Q: — par x el y les sinus des angles T et T'; — par t et t' les doubles signes du binôme eP- — s'Q-: — par K et V les ravons vecteurs qui vont d'un point aux deux fojers F et F': — par a et |j les angles qui leur correspondent; — par G et G' deux génératrices reclilignes appartenant respectivement aux systèmes A et [Ji; — par n et n' les ordres respectifs des infiniment petits a et 3.

657. Ces différentes fautes nous offrent un aspect commun, et proviennent toutes d'une faute initiale unique, toujours la même; celle qui consiste à représenter deux objets analogues par deux signes disparates, savoir : une lettre sans accent ni indice et une lettre affectée de l'un ou de l'autre. C'est ce qu'on vient de faire.

en représentant : par F et F' deux torces analogues ; — par x et x' deux abscisses analogues; — par T el T' deux angles analogues ; etc., etc.

On voit par là combien nous avons eu raison (487, o62, 564, 611), et avons raison encore, d'insister sur la grande différence qui sépare une lettre exemple d'a<;cent et d'indice d'une lettre afl'ectée d'un indice ou d'un accent.