CHAPITRE XI. — OliJKTS DE PLUS Dlî IHUX SORTES

évident que, clans cliaciin de ces exemples, les six points se j)arlaojent en deux sortes ou en trois?

On a grandement raison, en Géométrie descriptive, de représenter un point de l'espace par A; et ses projections, sur le plan horizontal, le plan vertical et la ligne de terre, respectivement par «, a' et a.

678. Soient A, B, C les trois sommets d'un triangle, et to,, 'j)., deux points donnés dans son |)lan. Les perpendiculaires élevées par tO) et Wo sur Ato, et Ato., se coupent en un point cpTon appelle la '■ c'est une excellente dénomination.

La figure relative au problème de la Carte est souvent mal notée. Dans un certain Traité de Trigonométrie, elle l'est très bien. On y appelle M le point à déterminer; A, B, C les points connus auxquels on le rapporte; a. b, c les cotés du iriangle ABC: et a, |j, -' les angles sous lesquels on les voit respectivement du point M.

679. Considérons le triangle. Sans même nous occuper de ce qu'on en appelle /a nouvel/e Géoinéti'ic. on j trouve une foule d'objets à classer et à représenter par des signes. Un géomètre (') en représente : par A, B, C, «, ^, c, p les trois sommets, les trois cotés et le demi-périmètre; — par O, R, S, G le centre i\y\ (cercle circonscrit, le ravon du même cercle, la surface, le centre de gravité; — par o, Oai 0(,, Oc les centres des cercles inscrit et exinscrits; — |)ar /•, j'a, /■/.. /'r les ravons respectifs de ces cercles; — • ])ar /if,. /il,. Ile les trois hauteurs; — par A'. B', C les points de contact des côtés avec le cercle inscrit; — par A^,. B^^. C,', les |)oints de contact des côtés avec le cercle exinscril dont Oa tst le centre 5 — etc., etc. On ne saurait choisir, pour ces nombreux objets, un meilleur ensemble de notations.

Points sur les courbes.

680. En coordonnées cartésiennes . un point possède : dans le plan, deux coordonnées; dans l'espace, trois. Il laut que ces coordonnées rappellent le point qu elles déterminent.

(') E.MiLK hY.yioi'sz, Association française pour Icnanccnu-nL des Sciences. Congrès de La Rochelle, i88a, séance du 28 août.

276 DELXIKME PARTIE. — CHOIX.

Considérons, dans l'espace, deux, points donnés quelconques. Si on les nomme M, et Mo, on nommera leurs coordonnées x,, r,, Zf et ^2, yo, ^2 ; — ^' on les nomme M' et M", on désignera leurs coordonnées par x\ y\ z' et x" , y". 5"; — si on les nomme A et B, on désignera leurs coordonnées par .r„, yn-, Za^lJ^b' yb> '-b- — " »e faut poinL comme le font certains Livres, appeler P etQ les points qui ont pour coordonnées r', y' , z et x'\ y", z" ; ni A et B ceux qui ont pour coordonnées .r,, y,, ^, et Xo, y-j^ z^-

081. Un géomètre, prenant deux points sur une courbe, nomme ces points M et N, et les pieds de leurs ordonnées A et B : voilà de bonnes notations: mais il désigne leurs abscisses respectives par j"o et;r4, ce qui est évidemment très mauvais. — Un autre désigne par Mo et M, les deux points de la courbe; par Pq et P, leurs projections sur l'axe des x; par a et b leurs abscisses : c'est une nouvelle faute, aussi grave que la précédente.

Considérant trois points sur une courbe, on les nomme, en un certain Livre, Mo, M, M, ; on nomme leurs projections Pq, P, Pi ; leurs abscisses «, x, b; — en un autre, on nomme ces |)oints Mo, M', ^I, : leurs projections P», P', P» ; mais on désigne leurs ordonnées par j'o? JK//M y« • Tout cela est très' mauvais.

Dans une étude sur les intégrales définies, on se donne sur une courbe deux points fixes /«o et M dont on désigne les abscisses par Xit et X: entre ces deux points fixes, on en insère un nombre variable p •. on les nomme /;/|, mo, •••, f^ip', on appelle leurs abscisses .27, , Xo, • • • , J^p '■ ce sont là de bonnes notations.

682. Dar)s le choix des coordonnées des points, il faut distinguer le point <|ui décrit la courbe; les points particuliers placés sur la courbe; et aussi, en dehors d'elle, certains points donnés, soit fixes, soit mobiles. Nous supposerons, pour sim|)li(ier, qu'il s'agisse d'une figure j)!ane; mais tout ce que nous dirons pour- le plan s\'leudra à l'espace.

Le point décrivant se nommera M; ses coordonnées seront \, Y ou .r, y. Il est avantageux de prendre les premières, car on |)eut alors utiliser les secondes pour un point particulier remarquable de la courbe. C'est ce qu'on fait d'ordinaire lorsque l'on cherche r<'fpiation de la tangente ou de la normale à une courbe en un poinl.

CIlVinrRE XI. — OBJETS DE PLIS DE DEUX SORTES. 277

Si Ton désignait par x,y les coordonnées du point décrivant M, il faudrait appeler :r,, j",, Xonyn, • • • ou bien x' , y', x" , y", . . . celles des points particuliers M, , Mo, . . . ou M', M", .... Dans le cas où l'un de ces points jouerait le rôle d'origine, on lui attribuerait l'indice zéro. On fei-ait de même si l'on ne considérait sur la courbe qu'un seul point particulier : il est bien évident qu'il serait mauvais d'appeler ce point unique ^1' ou M, et d'en désigner les coordonnées par x', y' ou .r, , y,.

Lorsque les coordonnées courantes sont X, \, on peut nommer x.y celles d'un point pris n'importe où dans le plan. On désignera ainsi par x, y les coordonnées du point P dont on cherche la polaire par rapporta une conique.

Mais quelles notations emplojer pour un point lixe, situé soit sur la courbe, soit en dehors, et qu'il est impossible de regarder comme une position particulière du point décrivant? D'abord, on se gardera de le nommer M : on n'appellera donc point Mq le centre d'un cercle; on l'appellera G; — on appellera de même S un sommet, F un loyer, etc., etc. Ensuite, il serait mauvais de désigner les coordonnées d'un pareil point par a;,, y, oax',y' : on les représentera par Xq, yo ou plutôt par a, b, par a, ,3.

683. Soient à considérer deux courbes connexes situées sur un même plan. On pourra n'emploxer pour la première que des lettres latines, pour la seconde que des lettres grecques. Ces courbes se nommeront alors (G) et [T); — les points qui les parcourent, ni el [x; — les positions |)articulières de ces points, nif, nto, • • •, [J-i, uLo, ... : — les coordonnées courantes, x, y, q, r, ; — celles des

points parliculiers, x^.y^, x^, yo, .... ;,.r.,, Ço. r.o — -On

choisira pour leur point d'intersection l'une des majuscules communes aux deux alphabets, par exemple A. qu'on pourra même all'ecter de l'indice zéro. Quant aux coordonnées de A, elles se nommeront ^To, jKo sur la première courbe, ^o; ''.o sur la seconde, et elles seront égales deux, à deux.

684. Pour les systèmes de points, l'usage des indices est toujours bon. Supposons n points fixes, joints par des droites à un point unique, on aura raison de les appeler P, , Po, . . . , P^ : d'appeler K

le point unique, et de désigner par r,, /j, ..., /■„ les longueurs des droites P, K, P,K. ..., P„K.

Un géomètre (') considère deux svstènies. l'un de / points, Taulie de m; — il désigne les points du premier .système par A,, Ao, . . . , A^;; ceux du second par B,, Bo, ..., B,„ ; — ■ ayant à prendre un quelconque des premiers, il l'ai^pelle A).; un quelconcpie des seconds, il l'appelle Bj^.. — Ce sont là des notations excellentes, pour ne pas dire' parfaites.

Équations de la Géométrie analytique.

683. Dans la représentation paramétrique des courbes, soit planes, soit gauches, on a trois sortes d'objets à considérer : le paramètre, les coordonnées, les fonctions du paramètre qui les représentent. On désignera toujours le paramètre par t, et les coordonnées par x,y^ ou x,y^ z\ on désignera les fonctions : dans le plan par /" et i?, ou cp et y ; dans l'espace, par/, gi h, ou '.p, y, 'l.

Les coordonnées étant représentées par des lettres consécutives du même alphabet, il serait mauvais de représenter les fonctions qui leur correspondent : dans le plan par /'et cp, ou 'ç et 'b, ou /*, et f.,\ dans l'espace par /", es, -l ou 'i, '^, (o. par y,, f^. f.\ ou tp, es,, 'i^- Je trouve en un jjvre excellent les é()ualions

(pii représentent une hélice : il faudrait évidemment y renqjlacer •l par y. Je trouve dans un autre, pour les coordonnées d'une ligne

unicursale, le>^ «'-(piations

où A, H, (1 désignent des fonctions de t : ces trois lettres sont mal choisies, car, étant consécutives, elles semblent désigner trois objets analogues.

()X('). La représentation paramétricpie des surfaces comporte de même trois sortes d'objel«i : les deux paramètres, les trois coordonnées, les trois fonctions <pii leur correspondent. On désigne

' } E. C\n\A\.\.Q. .\oin'e/les [iiixilesde Miitlieni(itiijiu's,.\' série, l. \II. fcvi ier iSc(3.