CAS DIFFICILES

Tableaux simples.

691. Il est toujours bon de supposer les objets disposés, sur une ligne, sur un plan, dans l'espace, conformément à leur nature, c'est-à-dire à leurs analogies et à leurs différences. Ce mode de disposition met en évidence toutes les classifications dont les objets sont susceptibles; il facilite grandement le clioix des signes qui les doivent représenter.

692. Si les objets se rangent d'eux-mêmes en une série linéaire , leurs signes formeront une pareille série. C'est ce qui a lieu pour la série

OÙ chaque terme ne nous otl're qu'un indice.

Si les objets se disposent sur un plan en un Tableau soit carré, soit rectangulaire, le signe de chaque objet nous offre deux indices, l'un pour sa ligne, l'autre pour sa colonne. On reconnaît ici la notation employée pour les éléments des déterminants et des matrices, pour ceux de la table d'addition ou de multiplication, en un mot, pour les éléments de tous les abaques ou tables à double entrée.

Des objets qui se disposeraient, dans l'espace, de façon à former un parallélépipède , un cube, devraient être représentés par des signes nous offrant trois indices. C'est ce qui a lieu dans les déterminants cubiques,

693. Réciproquement, les signes que nous venons d'indiquer peuvent être regardés comme représentant l'ensemble des valeurs particulières à\\ne variante k i, 2, 3, ... indices. Ces valeurs sont donc des objets susceptibles d'être disposés de façon à former une

liyne, iiu parallélogramme, un parallélépij3ède. L'ensemble quelles forment peut recevoir une disposition géométrique.

Il n'en est plus de même pour les variantes qui nous présentent 4, 5, 6, ... indices, à moins qu'on n'ait recours aux hyperespaces à 4j 5? '^} ••• dimensions. Ces valeurs pourraient y être disposées de façon à y constituer l'une de ces figures qui continuent la suite segment de droite, parallélo gramme , parallélépipède , et que l'on nomme, pour cette raison, des parallélolopes (').

Tableaux divers.

G94. Des signes bien choisis, quels qu'en soient d'ailleurs les objets, se disposent souvent, pour ainsi dire d'eux-mêmes, en Tableaux analogues à ceux dont nous venons de parler.

Considérons, par exemple, le triangle ABC ; désignons-en, comme |)récédemment, les sommets par A, B, C; — les côtés par «, Z>, c; — les centres des cercles exinscrits par O,,, O^, O,. ; — les rayons de ces mêmes cercles parr^, rt, /v; — les trois hauteurs par h,,, /ib, hc\ — ces signes formeront le Tableau rectangulaire

Oa Oo O,,

/la 11/, hr,

où les éléments de chaque ligne sont d'une même nature, et où ceux de chaque colonne correspondent à un même sommet. Il y a là, en quelque sorte, deux classifications superposées.

On leprésente d'ordinaire par le symbole C^^,^ le nombre des combinaisons simples de m objets yy à/), en convenant de regarder C,„.o comme égala limité. Il est évidemment naturel de former avec tous ces symboles le triangle

Gi,o Gi^i

Co.o C,,, G,,,

(') Bulletin des Sciences niatln'nuilitjues. in-S'. Paris, i<)OJ. •' Partie, p. ijt.