CHAPITRE XII. — CAS UIFFICILKS

OÙ les lignes corresponclent aux premiers indices, les colonnes aux seconds, et qui n'est autre chose que le triangle de Pascal.

J'ai représenté par 1\.^ et Q„„ç les nombres respectifs des permutations recliiignes et des permutations circulaires de n éléments qui présentent chacune .v séquences. H était naturel de disposer, comme je l'ai fait dans mes Mémoires ('), les svmboles de ces deux sortes en deux triangles, analogues au précédent.

695. Les séries périodiques sont choses assez fréquentes. Telles sont les suites de chiffres qu'on obtient en convertissant en fraclions décimales certaines fractions ordinaires. Telles sont la suite des noms des jours, dont la période composée de ^ jours constitue la semaine, et la suite des noms des mois, dont la période composée de 12 mois constitue l'année. Telles sont, dans les courbes représentées par les équations

y = sina", y = sin^a^-H cos-'.r,

les suites formées par les points d'inflexion, par les points situés sur Ox, et par les points où les tangentes sont horizontales.

H faut évidemment qu une suite périodique d'objets soit représentée par une suite périodique de signes. Supposons (|ue la période se compose de trois objets. On pourra désigner les éléments de la première période par <7, , Z-»), C\ ; ceux de la deuxième par «2, ^27 Co ; ceux de la troisième |)ar «3, 63, C3 ; etc.; et disposer tous ces signes de manière à en former le Tableau

(Il a , f/j. ....

r, co C3,

qui est rectangulaire, s'étend indéfiniment vers la droite, et doit être lu par colonnes.

696. Il est enfin des cas où l'on écrit des suites non périodiques d'objets, de nombres sous forme de Tableaux, uniquement pour ménager la place. C'est ce qu'on lait, par exemple, lorsque l'on

(') Mémoire sur le triangle des séquences {Savants étrangers, in-4°, Paris, ifSçjS. p. 2). — Mémoire sur les séquences des permutations circulaires {Bulletin de la Société mathématique de France, iii-8", Paris. 1895, t. XXllI, p. i2r'-i8^).

dispose les premiers nombres en un carré pour chercher, d'après la méthode d'Eratosthène ('), ceux d'entre eux qui sont premiers. Evidemment cette disposition est fautive, puisqu'elle établit entre ces nombres des corresi)ondances qui ne jouent aucun rôle dans la question.

Signes multiples.

697. Dans les exemples qui précèdent, les symboles que nous avons employés sont tous des signes doubles, triples, quadruples, . . ., qui correspondent à deux, trois, quatre, . . . classifications, en quelque sorte superposées, et qui rappellent ces classifications par 2, 3, 4) ••• indires. Comme tiens l'avons fait observer déjà (2i9), on peut supprimer la lettre majuscule ou minuscule qui sert de support à ces indices, et lemplacer, par exem|)le, 0!„ et P/i^5 par [m, p) et (/?, s). On peut aussi employer des minuscules différentes affectées chacune d'un indice ou d'un accent. C'est ce que l'on fait lorsqu'on écrit les matrices

aibiCidiCi, a' b'c'd'e', aob-jCid-^ei, a" b" c" d" e" , a^b^r^d^es, a'" b'" c'" d'" e'" .

698. Seulement, lorsqu'on emploie ces dernières notations, il faut se bien rappeler que les lettres sans accents ni indices, de même que les lettres affectées de l'indice zéro, ne sont point analogues aux autres et jie doivent être employées que dans des cas spéciaux.

Les tables à double entrée

qui nous présentent chacune les neuf cosinus des angles que forment trois axes rectangulaires de coordonnées avec trois autres axes rectangulaires, sont l'une et l'autre mal écrites, la première ligne de chacune d'elles n'y étant point analogue aux deux ligues suivantes.

C) i-j-ii/i av. .I.-C.