CHAPITRE XII. — CAS DIFFICILES

Combinaisons, arrangements.

699. Les groupes d'éléments nommés arran gements , permutations, combinaisons peuvent être regardés comme des objets donnés qu'il s'agit de représenter par des signes. A moins cjue l'ou ne tienne compte des cycles, inversions ou sécpiences qu'ils contiennent, ces groupes sont des objets analogues et doivent, par conséquent, être représentés par des signes analogues. Gomment choisir ces signes?

Evidemment, on ne peut assigner un signe simple à chacun des groupes considérés, car le nombre de ces groupes est fort grand par rapport à celui de leurs éléments. Le plus naturel, c'est d'attribuer une lettre ou un numéio à chacun des éléments entrant dans les grou|jes, et de repiésenter le groupe formé de tels ou tels éléments par le groupe que constituent les lettres ou numéros correspondants. En d'autres termes, les arrang;ements, permutations, combinaisons des éléments donnés seront représentés par les arrangements, permutations, combinaisons des lettres ou numéros qui en désignent les éléments. Le nombre des signes représentant les groupes sera donc juste égal au nombre des groupes; et chaque signe contiendra autant de lettres ou numéros que le groupe correspondant contiendra d'éléments.

700. Il est un cas où ce nombre de lettres peut être diminué. C'est celui où les groupes donnés sont les combinaisons simples de m objets p k p, el oii m — p est inférieur à p. Dans ce cas, en effet, les combinaisons considérées correspondent chacune à chacune aux combinaisons des m lettres m — p à m — p; ces dernières sont en même nombre que les combinaisons p à p, mais d'après notre hypothèse elles contiennent moins d'objets. On pourra représenter les combinaisons des m lettres p à /> j)ar les combinaisons des ni lettres m — p à ni — p.

Ainsi les combinaisons de m éléments m — i à m — i se représenteront chacune par une lettre unique, celle qui correspondra à l'élément manquant dans la combinaison. Les combinaisons de m éléments m — 2 à m — 2 se représenteront chacune par deux let-

28G DKLXIEME PARUE. — CHOIX.

1res, celles qui correspondront encore aux deux élémenls qui manquent; el ainsi de suite.

701. Considérons l'ensemlile des signes l'eprésenlant les arrangements complets p à p de m ('■Icments. Leur nonîbre est égal à celui, inP, de ces arrangements complets. On peut, d'ailleurs, les disposer d'une façon rationnelle.

Si p est égal à i, les signes, composés chacun d'une seule lettre, se placeront sur une ligne. — S\ p est égal à 2, ils formeront une table à double entrée, un carré. — Si p est égal à 3, ils formeront une table à triple entrée, un cube. — Si p est égal à 4? ils formeront une table à quadruple entrée, c'est-à-dire la figure qui correspond au cube dans rhyperes|)ace à 4 dimensions.

En généi'al, les signes représentant les arrangements complets d(.' m éléments, pris/? à/?, ïovmevonV un parallélolope régulier dans l'hyperespace correspondant au nombre p. Cette figure aura p dimensions: on pourra dire qu'elle résume une classification à /> dimensions, ou, comme précédemment, /> classificalions superposées; on pourra, dailleurs, la partager pai' la pensée, à l'aide de cloisons parallèles à ses faces, en mP cellules contenant chacune l'un des mP arrangements complets; charpie cellule appartiendra à p files parallèles aux arêtes de la figure : elle y sera comme en un carrefour.

70!2. Les combinaisons complètes de ■>. lelli-es, m à m^ c'està-dire les termes du développement de [a -h b)"\ abstraction faile de leurs coefficients numériques, formeni évidemment le triangle

a- ah />'-

a^ a-b ab- A-'

où chaque fîle d'éléments parallèle au côté gauche du triangle contient une puissance fixe de b\ chaque file parallèle au côl<'- droit, une puissance fixe de «; chaque file parallèle à la base, des termes *pii ^onl, en a et b. (l'un degrc- constant.

Les combiiuiisons tomplètes de 3 lettres, m à m. c'est-à-dire les

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termes du développement de [a -1- 6 + c)"% abstraction faite de leurs coefficients numériques, ont été disposés par M. Laisant en un tétraèdre analogue au triangle précédent.

A l'aide des hyperespaces à 4, ;^: 6, . . . dimensions, on j^ourrail disposer rationnellement les combinaisons romph'les, m à m. de 4,5,6, ... éléments.

Notations systématiques.

703. C'est une question, dans une étude un peu complic|uée de Géométrie, de savoir s'il faut ou ne faut pas tracer les Jigin-es. Nous avons parlé (!294) des avantages que l'on trouve à ne les pas tracer. Seulement, quand on ne les trace point, il faut apporter un très grand soin dans le choix des notations : il faut créer, en quelque sorte, des notations systématiques.

On v arrive en représentant les premiers éléments par des signes simples, et les objets compliqués par des signes multiples, formés des signes simples, assemblés suivant des lois ou conventions fixes.

704. Les signes simples employés pour les premiers éléments sont d'ordinaire des chiffres, des lettres, affectés d'indices ou d'accents, et placés souvent entre parenthèses ou entre crochets.

On désigne ainsi par A, 13, C, D quatre points placés sur une droite A, et par a, ^, •'. o leurs quatre polaires. — On se donne une surface algébrique S, du degré /«, contenant une droite D dont le degré de multiplicité est /•. — On se propose de mener dans un plan, par un point m, une tangente à la parabole (w). — On considère le point M où la droite (D) touche la courbe (E).

Dans ce dernier exemple, il est mauvais que la droite et la courbe. qui sont deux objets disparates, soient représentées par deux signes analogues : c'est une mauvaise notation. — Dans cette phrase : (( Le point m décrit la courbe {ni)qui engendre la surface\jn^ ». les notations sont, au contraire, très bonnes.

70o. Il est naturel de représenter par des signes multiples, (composés de signes simples, les objets complexes résultant de la combinaison des premiers éléments.

Un auteur écrit : soient i. 2. 3, ..., ^ les sept points donnés et (D) la droite d'intersection des plans (i, 2, 3), (4, 5, 6); — je

Irouve dans un autre (') : soient a, h, t% cl^ e.f\es six sommets de l'hexagone; les trois points {ab, de), (cd, fa), {hc, ef) sont situés sur le pascal abcdef (\n' on représente par

I ab. cd, ef | ( de, fa. bc \

Le premier de ces exemples est excellent, le second a ses lettres mal ordonnées; mais, dans Tun et dans l'autre, les signes multiples sont très clairs et se comprennent d'eux-mêmes.

706. Considérons un polvnome complet, c'est-à-dire un svstème de n droites situées dans un même plan. Qui empêche d'en désigner par rt,, «o, . . . , cin les côtés; par A/, y le point d'intersection des côtés rt/, (tj] par A^./Aa,/ la droite passant par les points A^,/, Aa,/?

Je troii\e, dans les Œuvres de Pascal (-), la figure ci-dessous qui nous offre quatorze lettres, très mal placées, et formant bien à

Lorl deux giou|)es de sept lettres consécutives. IS'eùt-il |)as été plus simple de remarquer que cette figure se compose uniquement de deux angles, dont les côtés coupent une circonférence et se coupent entre eux; d'appeler a, h les côtés du premier angle; /', i»" ceux du second; w la circonférence; et de désigner le point d'intersection de deux quelconques de ces lignes par le couple des deux lettres qui les représentent?