CHAPITRE Ml. — STRICTLRE DES EXPRESSIONS

que des polynômes homogènes, que des formes. Reste à étudier le mode d'écriture de ces formes, et la façon dontleuis termes doivent être ordonnés et groupés.

797. On distribue les termes de la forme en groupes symétriques ou, plutôt, en groupes ne contenant t|ne des termes du même type. La forme quadratique ternaire en x^y, z s'écrira

et la forme cubique ternaire complète,

■+-JK- (Qi ^ -+- Qî^") -H --^C R,a.- -h Rsr)] + 6 ^xyz.

On peut remai-quer, sur ce second exemple, qu'il faut parfois

superposeriez signes de groupement. Par contre, lors(|uele nombre

des termes est très petit, ces signes peuvent êlre supprimés. On

écrit sans parenthèse

a--i- b- — -lab.

Quant aux coelfîcients numériques qu'on place devant certains groupes, ce sont les coefficients des termes correspondant au t^pe de ces groupes dans le développement de la puissance d'un certain polynôme. Dans la forme ternaire de degré m, les termes du tvpe ^xPyt z'' auront tous pour coefficient numérique le coefticient de xPy*} z'' dans le développement de {x -\-y + z)'". Dans les formes binaires, ces coefficients seront ceux du développement de la ffj^ième puigsance d'un binôme. Quoi qu'il en soit, l'emploi de ces coefficients numériques offre une utilité réelle, notamment pour le calcul des dérivées successives des formes.

798. Mais comment ordonner les termes, tous de même type, constituant cliacun des groupes? C'est là un problème difficile, qui se ramène à la manière d'ordonner les combinaisons. Quant au coefficient littéral correspondant à chaque terme, on le représente souvent par une lettre unique afiectée d'autant d'indices qu'il y a de variables dans la forme, ces variables étant toujours placées dans le même ordre, et ces indices n'étant autres choses que leurs exposants. On peut écrire ainsi, dans une forme ternaire, en supprimant

d'ailleurs le facteur numérique commun,

Ao,r/,,-J"?-''-r- A,,,.,./j'-^'7^ Aç,o,r5"'?^'--f- A,.,o,7.r'-5?-h.. .,

l'indice o représentant toujours l'exposant de la variable qui manque. Je trouve dans un Ouvrage excellent, sous la forme

le trinôme du second degré aux deux variables x ely.

799. 11 est, d'ailleurs, évident que, s'il s'agissait d'écrire le quotient de deux polynômes analogues à ceux qui précèdent, il suffirait d'appliquer, à chacun de ces polynômes, les règles que nous venons de donner.

Combinaisons de n objets n — i an — i .

800. Nous avons vu (594) que, pour nommer les combinaisons de n objets n — i k n — i , le mieux était de prendre, pour le nom de chaque combinaison, le nom même de l'objet manquant ou un mot rappelant ce nom. De méiiie, on ordonnera ces combinaisons en s'appuyant sur la considération de ce même objet manquant. Si les objets combinés sont les lettres «, 6, c, . . ., on écrira en premier lieu le groupe où manque a; en deuxième, celui où manque 6, et ainsi de suite. La somme des produits 2 à 2 des nombres a, 6, c

s'écrira

bc -h ca -i- ab;

et celle des produits 3 à 3 des nombres ç, x,), :;,

œjz -+- yzv -T- zv.r ■+- vxy.

On écrira de même

r=(.>'-i-^j-^- zx{z -^ x)-^ xy{x ^ y)

De même encore

{bz — cy)- -\- {ex — az)--^{ay — bx)^.

cette dernière somme nous présentant à la fois les combinaisons 2 à 2, et des 3 lettres x, y, z et des 3 lettres a, 6, c.

Les pioduils dont les facteurs sont les combinaisons de /i objets