CHAPITRE III. — STRUCTURE DES EXPRESSIONS

n — I à n — 1 s'ordonneront suivant les mêmes principes. On écrira

801. On peut rapprocher des couibinaisons de n objets, n — i ;i n — 1, les groupes de n objets où un objet uniciue est traité à\\ne façon spéciale, les n — i autres élant traités symétriquement. On ordonnera par la considération de l'objet unique. On

écrira ainsi

«3 ^3 ci

(a — b ){ a — c) (b — c){b — a) ' (c — a){c—b)' et de même, pour les groupes composés de 4 éléments,

802. Quant à l'ordre où il convient de placer les objets composant chaque groupe, on peut le déterminer de deux manières. Ou bien en laissant les lettres à leurs places naturelles, et faisant porter la marque dislinctive de l'objet uni(jue sur la première lettre, puis sur la deuxième, . . ., comme on le fait dans ce produit :

Ou bien en déduisant chaque groupe du précédent pav permutalion circulaire, comme on le fait dans

Le premier de ces procédés ne donne pas toujours un résultat très net. On ne distingue pas, par exemple, du premier coup d'oeil, que les facteurs du produit

{bcd){acd)(abd)(abc)

sont les combinaisons 3 à 3 des 4 lettres rt, 6, c, d. Il conviendrait peut-être de mettre une étoile à la place de chaque objet manquant

el d'écrire

{Hr bc d){a jt- c d){ab ^ d){abc ^ ).

Le second procédé, an contraire, donne toujours des expressions très nettes. Il est de plus fort avantageux : d'abord, il soulage l'attention en réduisant l'écriture à une sorte de mécanisme ; ensuite, il fournit de lui-même une i^érijication, puisque, appliqué au dernier groupe, il redonne le |)remier.

803. Si simples, d'ailleurs, que soient les règles qui précèdent, elles sont constamment enfreintes. Dans la somme

xy(x-\-y)-^yz{y-\-z)-^ zxi z -\- x)^

les groupes sont mat ordonnés. Dans le produit

non seulement les (acteurs sont en un mauvais ordre, mais on ne voit pas comment on passe d'un lacleur au suivant.

Combinaisons, arrangements, permutations.

804. Les combinaisons de n objets n — i à n — i sont le cas le plus simple et le plus facile de lu question qui nous occupe. Prise dans toute sa généralité, cette question peut s'énoncer ainsi : ordonner en série linéaire l'ensemble des combinaisons, arrangements, permutations qu'une expression peut nous piésenter. (j'est là un problème difficile qui exigerait de longs développements. Nous nous bornerons à indicpier quelques-uns des procédés qui permeltent de le résoudre.

805. D'abord les termes à ordonner se partagent en deux sortes : ceux où l'ordre est inditl'érenl et j)eut être cliangé; ceux où l'ordre est déterminé et, par conséquent, invariable. Les combinaisons appartiennent à la première sorte; les arrangements el les [lermulations appartiennent à la seconde. Mais, puisque dans la première sorte les éléments peuvent être déplacés, nous pouvons les disposer dans un ordre que nous choisissons nous-mêmes, ()ar exemple, lorsque ces éléments sont des lettres, dans Tordre que leur assigne