CHAPITRE III. — STRICTURE DES EXPRESSIONS
l'alphabet d'où ils sonl tirés. Les termes peuvent être ainsi ramenés tous à la seconde sorte, à celle où les éléments sont placés dans un ordre qui ne peut être changé.
806. Supposons que les termes à disposer en série linéaire ne contiennent pas tous le même nombre d'éléments, si l'on veut, le même nombre des lettres. On les distribuera en groupes d'après le nombre des lettres de chaque terme; puis on ordonnera ces groupes d'après le nombre croissant ou décroissant de ces lettres. On écrira ainsi
{abc -^ bcd — . . .) -h ( ab -^ ac -h . . .) -^ (a -^ b -}- . . .);
et l'on sera ramené, pour achever d ordonner, à considérer les termes contenus dans chaque groupe, c est-à-dire à considérer des termes possédant tous le même nombre de lettres.
807. Considérons ainsi le système complet des arrangements simples de m objets/? à p. Ce système complet peut se partager en systèmes particuliers correspondant respectivement aux combinaisons simples, p 3i p, des m objets donnés, et le système particulier correspondant à chacune de ces combinaisons n'étant autre chose que le s\ stème des permutations des/? lettres de cette combinaison. On écrira successivement les dillérents svstèmes particuliers en les ordonnant suivant les combinaisons qui leur correspondent; puis, dans chacun de ces systèmes, on ordonnera les permutations qui les constituent. On devra donc elTectuer deux opérations successives : ordonner les combinaisons simples de m lettres p à /?; ordonner les permutations âep lettres. Chacune de ces opérations se rapporte évidemment à des termes qui contiennent tous le même nombre d'éléments.
808. Il existe un procédr-, artificiel mais très commode, pour ordonner en série linéaire des termes quelconques, permutations ou arrangements, contenant tous le même nombre de lettres. Si ces lettres sont au nombre de m^ on les remplace respectivement par i, 2, 3, . . ., m. Par cette substitution, chaque terme devient un nombre écrit dans le système dont la base est tn ^ i . 11 ne re^te plus qu'à placer tous ces nombres dans leur ordre de grandeur,
croissanL ou décroissant. On aurait pu remplacer aussi les m lettres par les m nombres o, 1,2, ... ^ m — i ; mais cette introduction du zéro aurait empêché d'étendre le procédé au cas où les termes n'auraient pas tous contenu le même nombre de lettres. On aurait été conduit, par exemple, à confondre le terme composé de deux lettres et représenté par le nombre S'y avec le terme composé de 4 lettres et représenté par le nombre ooS'j.
809. M. Laisant a imaginé, pour les permutations de n lettres, un mode très simple de représentation numérique. Dans une permutation quelconque, il remplace chaque lettre, sauf la dernière, par le nombre des inversions qu'elle forme avec les lettres placées à sa droite. Ce nombre étant considéré comme un caractère, comme un chiffre, chaque permutation se trouve représentée par un nombre de /i — i chiffres, écrit dans la numération factorie lie (12). Il ne reste plus qu'à disposer, dans leur oidre croissant ou décroissant, les nombres correspondant au système des permutations données. Les 6 permutations des 3 lettres «, 6, c sont ainsi représentées, dans leur ordre, par les 6 expressions
Ce mode de procéder permet d'ordonner en une suite linéaire les permutations des n premiers nombres. Une permutation étant représentée par le signe qui, dans la numération factorielle, correspond au nombre yo, le rang de cette permutation dans cette suite sera le nombre p -\- \ . La permutation et son rang seront deux objets tellement liés, que, connaissant l'un quelconque des deux, il sera toujours très facile de déterminer l'autre. Cette façon si remarquable de représenter les permutations est, d'ailleurs, tirée de leur nature; déduite de la considération des inversions, elle repose sur la structure même des permutations.
