CHAPITRE V — NOTATIONS PARTK VLlÈRES. 35l

lement la notatioii usuelle; la première, que certain^ estiment la meilleure, est celle dont se sont servis Jacobi et, après lui, Otto

Hesse(«).

841. Parfois, pour supprimer un indice, on emploie des lettres différentes aflectées d'accents. Le déterminant ci-dessus s'éciil alors

Mais, d'après ce que nous avons dit sur les lettres accentuées ou

non accentuées, il serait mauvais, l)ien (|n'on !«• fiisse très souvent,

de l'écrire sous la forme

Cet emploi d accents el de lettres ddTérentes a p;irlois cet avantage de permettre d'utiliser de» indices dotés de signiiîcalions nouvelles. Supposons nue, dans un déterminant de y éléments, les élémenls de !a première colonne soient tous des hinomes Ce déterminant pourra s'écrire

— aô

Sl^. D'ailleurs, que l'on fasse usage de deux indices, ou bien de lettres différentes et d'accents, la représentation d'un déterminant par le carré de ses élémenls est une nolaiion trrs bonne. Elle exprime très bien la signification de chaque élément, tt la correspondance des éléments deux à deux. Le seul reproche qu'on puisse lui adresser, c'est de porter le lecteur à croire que le déterminant est une fonction symétrique soit de ses lignes, soit de ses colonnes; erreur grave : puisque le déterminant change de signe lorsqu'on y intervertit deux rangées parallèles quelconques; puisqu'il est, non point une/onction symétrique, mais, comme on dit, une fonction alternée.

(') IVé en 1811, mort en 1874.

843. Si alirégée que soit celte nolalion usuelle des déterminants, on est parfois obligé de l'abréger encore. C'est ce qui arrive pour les déterminants formés d'un nombre d'éléments trop grand, indéterminé ou infini. On en écrit les premières lignes, les premières colonnes, quand on le peut les dernières, et Ton remplace par des suites de points les lignes ou colonnes qui manquent. On écrit, par exemple, le déterminant général de n lignes et n colonnes sous la forme

ft n \ (l,,->

Parfois même, on n'écrit que la première ligne du déterminant, représentant ainsi par

|Cii— S Ci2 Ci3 ... C,„|

le déterminant constituant le premier membre de l'équation en S du degré n. Parfois même, on n'en indique que le terme général : c'est ce que faisaient Gaucli y et Jacobi lorsqu'ils représentaient les fonctions alternées par l'expression

/ ^ ± «Il«2î • • • «///;•

Ces différentes notations abrégées dérivent toutes du Tableau carré. 11 en est de même des notations

,2, . . ., nj

qui représentent cliacune le déterminant général de n- éléments.

844. Un auteur italien désigne par (/•, s) le déterMiinaiit<7r6,f — a<:br. Grassmann désigne par

r d.r r/.rl L du d\> J

le déterminant formé par les composantes rectangulaires des trois

vecteurs

dx , dx du f/r

CHAPITRK V. — NOTATIONS PARTICLMÉRES. 353

Evideniuient, |)iiisqne le Tableau carré représentant un déterminant n'est qu'une table à double entrée, ce déterminant peut s'indiquer par une expression Tonnée de deux "Z superposés yorld^nl iuv Vêlement général, c'est-à-dire sur une variante à deux indices. Il suffirait en réalité de faire connaître cette variante et de marquer le nombre n des lignes et des colonnes. On pourrait représenter le déterminant de n- éléments par l'une de ces notations

A;- ^ ou (/•, 5) n'étant que l'élément général, donné sous Ibrme explicite.

Factorielles.

8io. Le produit des n premiers nombres entiers se nomme /Vyctorielle n et se représente, en France, par ni (^etle notation singulière n'a nul inconvénient. Il laut, en l'écrivant, avoir grand soin de mettre le |)oint d exclamation fort près de la lettre n. Si, à la place de cette lettre unique /?, on avait un binôme ou a fortiori un poljnome,il le faudrait mettre entre parenthèses. La factoiielle /« — k devrait s'écrire, non |>as /^ — A"! comme on le fait en certain Livre, mais bien (/? — A)! Si la factorielle était élevée à une puissance, il faudrait la placer tout entière entre parenthèses ou entre crochets : le carré de n\ s'écrirait (/i !)-.

846. Comme nous l'avons déjà dit, la factorielle ne s'indique pas toujours comme nous venons de le faire. On représente pn'sentement en Angleterre n\ par Vn. On sait, d'aillenrs, que, si y. est entier et positif, la fonction désignée par r('jL-i- i) se réduit à y.!

847. On représente soit par [j?, /i]", soit par .r" '' le produit de n lacteurs en progression arithmétique de raison //, dont le premier est X. Les j)roduits de cette sorte, que Rramp avait appelés y"ac;</^es numériques, se nomment aws^x factorielles, et il est bien évident que la factorielle qui précède, la factorielle propr(Mnent dite, n'en est qu'un cas particulier. Le symbole qui les représente demande à être, chaque fois qu'on l'em[)loie, bien défini, bien écrit.

Celte nouvelle factorielle, d'ailleurs, pas plus que la factorielle A. 23

proprement dite, n'exigeait une notation spéciale. On aurait [)u évidemment représenter l'une et l'autre à l'aide de la notation condensée des produits.

Fractions continues.

848. Toute fraction continue , écrite in extenso, nous présente plusieurs barres horizontales superposées. C'est la première qui est la havre maîtresse, la barre qu'on doit placer sur la ligne principale de l'écriture. On agira ainsi : pour la fraction continue

qui nous présente trois barres; — pour la fraction

ai H-

qui nous en présente n\ — et pour la traction

qui nous en offre un nombre illimité. — Dans cluicune de ces deux dernières fractions continues, nous avons dû em|)lover une suite de points. Comme nous l'avons déjà dit, cette suite doit toujours être précédée et, quand elle est limitée, suivie de l'un des signes -|- ou — .

8i9. Il est bien évident que les fractions continues, dont les uunK'raleurs ne sont pas tous égaux à l'unité, nous présentent deux suites de nombres : la suite des quotients incomplets et la suite des numérateurs. Ces deux suites se distinguent nettement sur cet exemple,

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