On déliuit ainsi, par les égalités
X = y.x' -T- Pji'',
la substitution linéaire qui remplace les variables x^ y |)ar les variables x\ y' . Plus généralement, on définit par les égalités
x\. = "j'ii ?i "^ Y'- ^2 -!-• • --î" Yi« ?«'
X<i = Y2 1 Çl -r- Y22 ;2 -*-••• -r- Y2/2 Ç«)
Xfi ■ — Y"i Çi ~^ Y«2 ?2 ~i~ • • • ~t~ Y"« ?''
la substitution, linéaire encore, qui remplace les variables x^^ x-i^ . . . , x,i parles variables ii, Ço, . . . , q„.
Ces notations sont excellentes, mais occupent trop de place. C'est l'usage, |)our abréger, de représenter respectivement les deux substitutions précédentes par les Tai^leaux
/Yi.
•• Yi«
sj
'\n\ "{ni
Ces notations abrégées sont analogues à celles des déterminants : elles ont au fond la même origine.
838. Il arrive très souvent que les nouvelles variables ou lettres ne diffèrent point des anciennes, et que la substitution a pour effet unique àe permute?' ces lettres entre elles. Supposons que les lettres données soient «, />, c, r/, e,f- Pour définir la substitution, on écrira, au-dessus de chacune de ces lettres, celle par laquelle on la doit remplacer. On arrivera ainsi à cette expressiou
lue l'on écrit souvent
les lettres Pq, P/ ou Sy, S/ représentant respectivemenl les deux permutations considérées.
Cette forme de rapport qu'on donne à l'ensemble des deux permutations rappelle, d'ailleurs, que la substitution peut être réduite : si deux lettres correspondantes y sont identiques, on peut, en effet, les supprimer toutes deux.
Cette notation elle-même peut être encore abrégée. Lorscpie Ton convient de prendre toujours, pour la permutation d'en bas, celle dont les lettres se succèdent dans l'ordre alphabétique, il suffit évidemment d'écriie la permutation d'en haut. La substitution précédente pourrait s'écrire simplement [efdbac). Mais, d'ordinaire, on réserve cette notation, qui n'emploie qu'une permutation, à l'écriture des substitutions circulaires ou cycles.
859. Permuter circulairement les lettres d'une permutation, c'est remplacer chacune d'elles par la suivante, et la dernière par la première. Permuter circulairement les lettres de la permutation bclfcac, c'est donc effectuer la siiljslituiion
fdf e a c b\ \b d f e a cj
Comme nous venons de le dire, on indique simplement par
(b d f e a c) cette permutation circulaire ou cycle.
