CHAPITRE V. — NOTATIONS PARTICULIÈRES

Une subslilution consistant à |iei'miiter des lettres données peut toujours se décomposer en cycles. On la représente le plus souvent en juxtaposant ces cycles, de cette manière :

{adf){bc){e).

Il est, d'ailleurs, évident qu'un cycle composé d'une lettre unique exprime simplement que, par la subslilution considérée, cette lettre ne change point.

860. On sait que les substitutions jouent, dans toutes les parties des Mathématiques, un rôle considérable. En Géométrie analytique, c'est par elles que s'effectuent les plus grandes simplifications. En Algèbre, c'est par elles que Galois (') a transformé la théorie des équations.

Différences.

861. La théorie des différences donne le moyen de représenter, d'une façon abrégée, la somme de certaines suites. Considérons, en effet, pour emplover les notations consacrées, les n + i quanti lés

En retranchant chacune d'elles de la suivante, on obtient les n différences premières

\U^), A?<i, A«.2, .... \lla-l-

En opérant de même sur ces nouvelles quantités, on obtient les /z — I différences secondes

A-?<o. -^^"li -^^"2) •••■ A-«,î—2.

Et ainsi de suite. — Finalement, on arrive à une différence /^"^™e unique qui est

Or, comme on le démontre facilement, si l'on représente par C^

(') Né en i8ii, mort en iSSa.

36o TROISIÈME PARTIE. — LSAGE.

Je nombre des comljinaisons simples de n ol)jels/? à p^

C'est cette formule qui conduit à une notation abrégée.

862. Supposons, en effet, que l'on ait à représenter une suite analogue au second membre de cette égalité, c'est-à-dire une suite dont le terme général soit

l'indice /p prenant toutes les valeurs entières o, 1,2, . . . -, n. Notre quantité/(/z — ■ p) ne sera autre chose que iin-p- Pai" conséquent, la somme de la suite tout entière ne sera autre chose que A"/'(o).

863. C'est là une notation abiégée que l'on em[)loie souvent; mais qui n'est claire cpie pour les lecteurs familiers avec la théorie des différences. On fera bien de lui préférer une de ces notations condensées que nous avons vues précédemment (81 i), qui sont il est vrai un peu moins brèves, mais qui présentent toujours beaucoup de précision et de clarté.

Notations symboliques.

864. Les expressions symboliques doivent leur origine à des ressemblances qu'on aura constatées entre certains développements et d'autres dévelop[)emonts antérieurement connus. La théorie classique des différences, que nous venons de rappeler, nous présente les deux formules

Un — uo -+- G,'j A «0 -i- G,i y- «0 -+-••■ -I- g;; a" uo,

A" uo = u„ — G,?, «„.-! -f- Gf, i(,,2 — . . .± G;î «0,

où le svmbole C^,'^' désigne le nombre des combinaisons simples de n objets php. Or si, dans la première, on met Uq en facteui commun et si, dans la seconde, on regarde les indices de u comme des exposants, on est conduit à écrire respectivement ces deux égalités sous les formes

qui sont des formes purement symboli<jues.