I-iB puissance symbolique

(^f[^dx+f'^dy^f',dz-fn)

nous représenterait de même la différentielle totale, d'ordre n, de

la l'onction y (. a?, jK? ^)-

866. Comme nous l'avons déjà dit (7o9), pour distinguer ces puissances svmboliques des puissances proprement dites, on peut enfermer l'expression, élevée à la puissance symbolique, dans une parenthèse double; ou bien mettre l'exposant dans une parenthèse simple; ou bien encore placer cet exposant à la droite et en bas.

Quoi qu'il en soit, ces puissances symboliques sont d'un continuel usage. C'est grâce à elles qu'on peut écrire d'une manière simple : en A.nalyse, dans le cas de plusieurs variables, la formule de ïaylor et celle de Maclaurin ('*); — en Géométrie analytique plane, les polaires successives d'un point par rapport à une courbe; — en Géométrie analvtique à trois dimensions, le cône des tangentes à une surface, en un point multiple d'ordre quelconque.

867. 11 existe, d'ailleurs, une foule d'expressions symboliques qui ne sont point des puissances; qui varient d'un cas à un autre; et qu'il faut, dans chaque cas, définir avec soin, puisque les signes qu'on y emploie n'y possèdent plus leurs significations ordinaires. La nouvelle Algèbre en fait l'emploi le plus large, notamment dans

(') Taylor, i685-i73i ; Maclaurin, 1698-17^6.

36> TROISIÈME PARTIE. — LSAGE.

la théorie si importante des invariants elcovariants. Ce qui justifie cet usage, ce qui le rend très avantageux, c'est que les notations symboliques sont toujours des notations abrégées, et qu'elles possèdent toujours une grande vertu mnémonique.

Opérateurs.

868. Nous avons parlé déjà (161) de l'extension, peut-être exagérée, que Ton a donnée à la notion de multiplication et, par suite, à celle de puissance. Calculer fx^ c'est effectuer sur x un certain ensemble de calculs : on a dit que c'était multiplier x par \di caractéristique f^ et l'on a appelé cette caractéristique, sinon un multiplicateur, du moins un opérateur.

il existe des opérateurs de bien des sortes. Si S désigne une substitution des (|ualre lettres a, b, c, d, et F, une fonction de ces mêmes lettres, dans l'expression SF, qui a la forme d'un produit, S est un opérateur. — Dans 1 égalité

0?/" = 1 — dx H- -^ dy -! dz]f,

qui définit la ditlerenlielle totale d'une (onction de trois variables, la parenthèse est un opérateur. — L'expression définie par l'égalité

ùx\ ùy-i dx-i àyi

est un opérateur différentiel. — Les expressions dites crochets de Poisson (') sont des opérateurs. — L'expression

" tyBo "^' ' dBi ' ' ' .;B2 "^■■' " " oï^n

est encore un op^'rateur, relatif ;ni\ deux formes binaires

(Ao, A,, ..., A.O^j-i, x^y\ (Bo, B,, .. ., ^n){x^, x^K

Lorsqu'une figure F' se déduit d'une figure F par une transl'or-

mation T, on dit parfois que F' est la transformée de F par T et

l'on écrit

F'= TF.

(') Né en 17S1, mort en 18 fo.