CHAPITRE V. — NOTATIONS PARTICULIÈRES

Il est évident alors que T esl, en quelque sorte, un opérateur géométrique.

869. Si l'on effectue une première o[)ération sur une variable ou une fonction; puis une deuxième opération sur le résultat de cette première; puis une troisième opération sur ce nouveau résultat; l'opérateur unique qui donnerait ce résultat final serait \e produit des trois opérateurs, pris dans leur ordre, qui correspondraient aux trois premières opérations. Ainsi les opérateurs se multiplient entre eux. Seulement c'est là une multiplication d'un genre particulier, et dont le produit n'est point indépendant de l'ordre des facteurs. Deux substitutions étant représentées respectivement par S et T, les produits S T et ÏS sont, en général, différents.

Lorsque tous les opérateurs sont égaux, ce produit devient une puissance et se représente à l'aide de la notation des exposants. Supposons qu'une opération soit indiquée par y": la même opération répétée deux fois, trois fois, ... sera indiquée pary-,y^, — Les opérateurs seront des puissances. Certains auteurs, à la vérité, au lieu d'exposants emploient des indices : ils désignent par A«V le résultat de l'opération A appliquée n fois à la fonction V; c'est la notation des différences. — Edouard Lucas (') a désigné {^) par^',S-,S^, ... les résultais de l'opération S appliquée une fois, deux fois, trois fois, ... : c'est une notation relative aux sommes qui seraient les analogues des différences.

870. Cet emploi singulier de la notation des puissances permettrait d'écrire, d'une manière simple, la fonction in\-erse d'une fonction donnée. Dans cette notation. Iinverse du nombre a se représenterait par a"' ; l'inverse de la fonction fx se représenterait par f~^x. Les géomètres anglais écrivent sin~'a7 pour arc sino:. Cette notation n'a jamais été usitée en France; mais ce qui précède suffit à la justilier. — Il est évident, d'ailleurs, que si Ton désigne une substitution par S, et son inverse par S~* , on a identiquement, comme dans le cas des vraies puissances,

SS-'= s-is = I.

(•) Né en 1842, mort en l'^gi.

(-) Théorie des .\ombres. in-S". Paris, 1891, p. 8.

364 TROISIÈME PARTIE. — ISAGE.

871. L'usage des notations symboliques conduit constamment à la considération d'opérateurs plus ou moins compliqués. Dans les formules symboliques

un = (i + A);"' u^, A" u^ = (?/. — i)'S

qui appartiennent l'une et l'autre à la théorie classique des différences, chaque parenthèse, munie de son exposant, est un opérateur.

Réciproquement, les opérateurs se désignent souvent par des notations symboliques. Dans la nouvelle Algèbre, où l'on calcule sur les symboles d'opérations comme on calcule d'ordinaire sur les lettres, on représente souvent l'opérateur

qui joue le plus grand rôle dans la théorie des invariants et cova-

riants, parla notation symbolique 12, qui a le mérite d'être d'une grande brièveté. Les opérateurs, comme les expressions symboliques, sont, d'ailleurs, toujours des notations abrégées.