CHAPITRE YI

KELATIONS.

Généralités sur les relations.

872. Une égalité, une iiiégalilé, une relation quelconque n'est autre chose qu'un ensemble de deux expressions réunies par un de ces signes spéciaux, positifs ou négatifs, simples ou doubles, que nous avons précisément nommés (246) signes de relation. Celle des deux expressions qui est placée à la gauche de ce signe est le premier membre de la relation; celle qui est placée à la droite en est le second.

<S73. Les deux membres et le signe qui les unit doivent toujours être bien écrits, bien calibrés, surtout bien alignés. Il faut que le signe de relation soit assez grand dans le sens horizontal, et que les deux membres ne soient ()oint trop serrés contre lui. C'est seulement à ces conditions que les trois parties dont la relation se compose sont bien nettes, bien distinctes.

Quant à la relation tout entière, sauf dans le cas de force majeure, elle ne doit pas être écrite à l'intérieur du texte. Elle doit être isolée, sur une ligne qui lui soit propre, et placée au milieu de cette ligne ou, comme disent les imprimeurs, au centre de \-a justification.

874. Bien entendu, en écrivant une relation, on ne doit en omettre aucun élément essentiel, y introduire aucun élément superflu. Je trouve, en un très bon Livre,

{x — a)- est > o.

Ce mot est me paraît inutile et il a le tort de mêler le langage ordinaire à l'aloorithme de l'Altrèbre.

366 troisième: part(i:. — usage.

Combien de fois ne m'esl-il pas arrivé de rencontrer des élèves qui oubliaient le signe = d'une équation et, par exemple, disaient

ou écrivaient : Considérons l'ellipse — -\-j:; — i. On pourrait

citer des Livres où celte même faute est imprimée.

875. Cet oubli provient peut-être de l'usage, très justifié nous le verrons, d'écrire frécpiemment les équations en réduisant leur second membre à zéro.

Ce même usage explique peut-être encore cette nouvelle faute, dont on trouve aussi des exemples imprimés, et (pii consiste à dire, si a est une racine de l'équation

que a annule cette écpiation. Ce qu'il faut dire, c'est que a vérifie celte équation, ou en annule le premier membre. Est-il nécessaire d'expliquer qu'une équation ne jteut jamais être nulle, ne peut jamais prendre une valeur quelconque! Qu'une équation, qu'une relation n'est ni un nombre, ni une grandeur, ni une quantité!

Réduction du second membre à zéro.

<S76. En toute relation, on jjeut faire passer un terme d'un membre dans l'autre. En toute égalité et même, sous certaines conditions, en toute inégalité, on peut multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre. 11 suit de là que toute relation peut s'écrire d une infinité de manières; que ré(|ualion donnée, A ^ B, par exemple, peut s'écrire A' = B', A" = B"

La relation n'est donc point caractérisée par la forme qu'elle afl'ecte. Si I on veut pouvoir comparer les relations entre elles, pouvoir les étudier par des procédés uniformes, et même pouvoir simplement les reconnaître, il convient donc de faire un choix parmi les diflerentes manières de les écrire. On a choisi celle où tous les termes sont placés au premier membre (') et où, par conséquent, le i<?co/«<'/est réduit à zéro. Une équation donnée A = o

(') Celle- f.Koii (l\ciire parait due à Hdtrinl. — \'. tJohhii. Histoire des Malliémalit/ues, in-S", Paris, i8io, t. I. p. 286.