CHAPITRE VI. — RELATIONS

ne peut plus s'écrire que sous les formes A' = o. A" =o, . . . dont les premiers membres ne difterent de A que par un facteur. La relation est complètement caractérisée par la fonction qui en constitue le premier membre.

877. On appelle é(piations algébriques les équations, à une ou plusieurs inconnues, qui j)euvent se ramener à la forme

dont le premier membre est un polynôme entier. Pour étudier ces équations, on les prend toujours sous cette forme, où leur second membre est nul. C'est ce que l'on fait, en [larticulier, dans la théorie des équations algébriques à une seule inconnue. On convient, en outre, assez souvent, d'ordonner ce polynôme par rapport aux puissances décroissantes de l'inconnue, et même d'en réduire le premier coefficient à l'unité. Par ces conventions, l'équation algébrique

ne peut plus s'écrire que d'une seule façon.

On met presque toujours sous cette forme, où le second membre est nul, les équations différentielles ordinaires, les équations aux dérivées partielles, les équations aux différences finies et les équations aux différences mêlées.

878. En Géométrie analytique, lorsqu'il s'agit de discuter et de classer les lignes planes ou les surfaces de degré m, on part, en général, de l'une ou l'autre des équations

dont le premier membre est le polynôme complet du degré m, à deux ou trois variables, et dont le second membre est toujours zéro. On écrit aussi, avec des seconds membres nuls, les équations, déduites de cette discussion, qui représentent les différents types trouvés de lignes et de surfaces. C'est ce que l'on fait notamment, dans le cas particulier du second degré, pour la classification des coniques et pour celle des quadriques.

Quel que soit, d'ailleurs, le degré des lignes et surfaces repré-

sentées par les équations

f{x, y)=^o, fix,y, ^) = o,

c'est en parlant de ces équations, dont le second membre est nu), que l'on obtient, pour ces lignes et surfaces, les équations canoniques des tangentes, normales, plans tangents, etc., etc.

Écriture du premier membre.

879. Considérons une équation ou relation quelconque, à second membre nul. 11 faudra, pour qu'elle soit bien écrite, que les termes composant son premier membre soient bien groupés et ordonnés. Nous avons expliqué la manière de grouper et d'ordonner convenablement (786, 797). Nous nous bornerons ici à rappeler les conseils donnés plus haut.

880. Tout d'abord, une équation algébrique à une inconnue ne doit contenir (\\\' un seul ternie constant. Si ce terme n'était pas un monôme, il faudrait donc le placer entre parenthèses. L'équation du second degré