CHAPITRE Vil. — RELATIONS CONTINUES. SgS

Proportions continues.

937. Revenons aux géomètres du xyiii*^ siècle. Ils nommaient proportion continue, soil arithmétique, soit géométrique, une proportion où les moyens étaient égaux entre eux :

était une proportion continue arilliniélique;

une proportion continue géométrique. Ces reUitions aujourd'hui s'écriraient respectivement

II ^ i^

938. Au heu d'une seule proportion continue, on en pouvait écrire, sur une seule ligne, un nombre quelconque, par exemjjle

ce qui constituerait aujourd'hui les égalités continues a — b = b — c ^ c — d = . . .,

On était amené par là à considérer les suites de nombres

dans la première desquelles Vexcès de chaque nombre sur le suivant est constant, tandis que, dans la seconde, c'est le rapport de chaque nombre au suivant.

939. Ces suites constituent, la première y\ne progression arithmétique et la seconde une progression géométrique. Supprimant les signes de relation, on écrivait : la progression arithmétique sous cette forme

la progression géoinélriqiie sous celle-ci

Ces manières d'écrire sont absolument abandonnées. Les signes

et — 1-| — auraient même disparu des Mathématiques, si Bourget

n'eût eu l'idée (177) de prendre le premier comme signe de Vexponentalion.

Vestiges des anciennes notations.

940. On trouve trétpiemment, non pas dans les Ouvrages élémentaires, mais dans des Traités plus relevés et dans des Mémoires originaux, certaines expressions et équations contenant plusieurs fois le signe ; de la division, et se rattachant à l'ancien algorithme des proportions et progressions géométriques. Oe n'est qu'en se reportant à ces anciens algoritlimes (pie l'on peut arriver à comprendre nettement le sens de ces expressions ou équations.

911. Nous rencontrons, par exemple, ces locutions : « les rapports

« les /apports

Yi : 72: Y3 :...: t« »•

Le sens n'en est pas évident. Pour le comprendre, il faut considérer

chacun de ces groupes comme composé de termes consécutifs d'une

progression géométri(pie et comme représentant le rapport de chacun

d'eux au suivant; il faut, en d'autres termes, considérer d'une part

les deux rapports

de I autre les /i — i rapports

Il 'h . . JÎLzi-

mais en se gardant bien de croire que ces i-apports, comme dans les progressions, possèdent tous la même valeur. — Par ces explications, les expressions considérées deviennent claires et précises.