CHAPITRE VIII. — SYSTÈMES D'ÉQUATIONS
les seconds membres ne sont pas bons. Ils devraient être remplacés par A, B, ..., N. — Les premiers seraient excellents, n'était la dernière ligne, où Ton a eu tort d'appeler les coeflicienls /?,, /«2, //,j, ..., 11,1- — Quant aux nombres qui, substitués à X), .Ta, x^, . . . , Xn, vérifient à la fois toutes ces équations, c'est-à-dire aux nombres qui constituent la solution du système, ce serait une grosse faute de les appeler a,, ao, ag, ..., a^. ils sembleraient, en effet, par cette notation, avoir avec les coefficients a,, a-^-, «3; • • • > «« de la première équation une relation, une correspondance particulière.
977. Pour étudier l'élimination de n inconnues entre n -r i équations, un auteur appelle ces n inconnues x^, x-2- ■ • ■ JCn-, et écrit le svstème de ces n -\- i équations sous la forme
Oi(a7i, Xo, . . ., cv,i)= o, Oi(xi, x-i, . . ., a"„)= o,
o„(a7,, X-i, . . .,Xn)= o,
où l'indice zéro donne à la première une importance spéciale. Cette notation est justifiée, non pas par la nature du pioblème, mais par le mode de raisonnement de l'auteur. C'est dans celte première équation, en effet, qu'il suppose substitués les éléments d'une solution quelconque du système des n suivantes. — Ce système de n équations à n inconnues n'étant pas linéaire admet plusieurs solutions; l'auteur les distingue les unes des autres en leur assignant des numéros ou rangs; il désigne les éléments de la solution de rang i par /'/ ^ , r/^a? • • • - ''i,n '• c'est une bonne notation.
Systèmes d'équations quelconques.
978. Les systèmes si variés que nous venons d'examiner étaient formés chacun d'équations toutes analogues. Lorsqu un système est formé d'équations qui ne se ressemblent point, il peut évidemment se scinder en plusieurs systèmes pareils aux précédents.
11 parait donc inutile de donner des exemples de systèmes com-
4lO TROISIÈME PARTIE. — USAGE.
posés ainsi d'équations de difterenles sortes. De tels exemples se trouveront, d'ailleurs, en bon nombre, dans les derniers Chapitres du présent Ouvrage.
Abréviations dans les systèmes.
979. Quels que soient les systèmes d'équations considérés, les notations abrégées qu'on y peut employer sont de deux espèces : les unes abrègent l'écriture des équations prises isolément; les autres, l'écriture du système tout entier.
980. Dans l'étude de l'élément linéaire des surfaces, on rencontre le système
E=^^xl, F =^xux^,, G =2^^'
où chaque équation est écrite en abrégé.
Les coordonnées du centre de gravité d'un système de points pesants sont données par les équations
2^'^' ^Pifi ^Pi-i X = 5 y = j z = ,
^P' ^Pi 2^'
qui sont écrites de la même manière.
La Mécanique nous présente encore, écrit de cette même façon, le système
qui nous donne la résultante de plusieurs forces appliquées au même point: et les deux systèmes de trois équations chacun
qui composent, ensemble, ce qu'on appelle les équations d'équilibre dun système quelconque de forces appliquées arbitrairement à un corps solide.
CIIAPITRI': VIII. — SYSTKMES D EQUATIONS. 4'!
981. On pourrait cilcr encore comme systèmes écrits ainsi : le
système
■^ ni(.r — n) y V^ "^ ' .'*' — ''' ' 7 'V' "" ^ — ^ '
<|iii donne les composantes de l'attraction exercée sur un point unique par un certain nombre de points donnés; — et le système
qui donne les composantes de l'attraction exercée sur un point unique par un corps quelconque supposé continu.
98;2. On emploii; très souvent des notations permettant de remplacer par une équation unique un système entier d'équations.
C'est ce que Ton fait : lorsqu'on représente un svstème de n équations dillVrentielles par la seule é(jualion (')
dxi ,. , . , s
—jj = \/ (t = 1, 2, i, ..., «);
lorsfjuc Ton e\|Mime par léquation unique (-)
dxj dXi
l'ensemMe des conditions nécessaires et suffisantes pour que l'expression
pi dxi -r- pi dxi -+-... -^pn dxn
soit une différentielle totale exacte.
983. Lamé, qui fut, dans l'Algèbre et TAnalyse, un écrivain hors de pair, a fréquemment eu recours, pour les équations et groupes d'équations, à des abréviations de celte sorte. Dans ses leçons Siir les coordonnées cun'ilignes^ il emploie constamment,
(') Emile Picard, Traité d'Analyse, in-8, t. III, 1S94, p. i85. (-) H. Laurent, Remarques sur les conditions d'intégrabilité {Aouvelles Annales, 3* série, t VI, juin 1887).
d'une façon svsLénialique, les abréviations définies par les conventions suivantes :
La lettre ^^ placée decant une expression contenant u, indique
la somme de 3 expressions semblables, dans lesquelles a est successii'ement remplacé par x, y, z\
La lettre ^, placée devant une expression contenant V indice i, représente la somme de 3 expressions semblables, dans lesquelles V indice i est successivement supprimé , égal à i, égal à 1 ;
Lorsque deux lettres u et v existent dans une expression précédée du signe ^.i elles désignent deux coordonnées cjuelconques,
X, }', z, mais différant l' une de l'autre ;
Lorsque les indices i et j existent dans une expression
précédée du signe V, ils désignent deux quelconques des indices o, I ,a^ mais différant l'un de l'autre;
Le nombre placé à la suite cV une formule exprimée, soit en u
et V. soit en i et j, soit ce l'aide du signe X o« N , indique le
nombre total des formules qu'elle remplace, ou qu'on en déduirait, en donnant successivement aux u, v^ aux i,j\ toutes leurs valeurs ( ' ).
Evidemment, au lieu des indices o, i, 2, il eût mieux valu emplover les indices i. 2. 3; mais, abstraction faite de celle faute, ces conventions sont excellentes. Elles ont permis à leur auteur : de diminuer considérablement son texte; — de réduire les formules au niveau du format adopté: — de donner, en un mol, diin bout à l'autre de son Livre, à tout l'ensemble des écritures n)alhémalif|ues, un degré d'élégance qu'il serait difficile de surpasser.
(') Leçons sur les coordonnées curvilignes, in-S", Paris, iSSg, p. 8-().
