NOTATIONS INITIALES DES PROBLÈMES

Classification objective, subjective.

98i. Ce qui domine tout dans le choix des signes représentant les objets, c'est la classification des objets à représenter. Cette classification est, d'ailleurs, objective ou subjective. Objective, lorsque nous considérons les objets en eux-mêmes, dans leur nature propre; subjective, lorsque nous les considérons par rapport à la connaissance que nous avons d'eux, à la manière dont nous les employons.

La distinction des 6 éléments d'un triangle en 2 groupes, les 3 côtés, les 3 angles est évidemment objective ; — la distinction des quantités en données et inconnues, en constantes et variables est, au contraire, subjective.

Si l'on peut, dans le choix des signes, tenir compte simultanément de ces deux genres de considérations, on a raison de le faire. Si ces deux modes sont incompatibles, c'est la classification objective qui doit être préférée.

98o. Soit à calculer, dans un triangle, un côté, connaissant les deux autres et l'angle qu'ils comprennent; on se servira des notations consacrées, c'est-à-dire qu'on calculera a, par exemple, en fonction de b, c, A. On n'appellera pointa: le côté inconnu : si on le faisait, les 3 côtés, qui sont 3 objets analogues, seraient représentés par les signes x, b, c, qui ne le sont point.

986. En général, lorsque l'ensemble des objets sur lesquels porte le problème possède un système de signes consacré par l'usage, il est fort avantageux de s'en tenir aux signes de ce système, sans se

4l4 TROISIÈME PARTIE. — USAGE.

mettre en peine de leur en substituer de nouveaux. Considérons ce problème : i<. Au bout de combien d'années an capital donné, » placé à intérêts composés à un taux connu, acquiert-il une )) vcdeur déterminée? » — Pour le résoudre, on partira de la formule classique

et l'on calculera /z, qu'on se gardera bien d'appeler x.

987. Sauf dans les cas analogues aux précédents, les inconnues et les variables se désigneront par les dernières lettres x^ j, z de l'alphabet; les données et les constantes, par les premières a, b, c, — Si les unes ou les autres sont en grand nombre, on aura recours à des suites de lettres affectées d'indices ou d'accents; ces suites se partageant, s'il le faut, elles-mêmes en ditlerents groupes, correspondant aux difterentes sortes des objets à représenter.

Notations des inconnues.

988. Dans les problèmes où 'les inconnues sont des nombres, l'énoncé indique de lui-même combien il y a de ces inconnues. On n'a qu'à leur donner des noms, qu'à les désigner soit par des lettres difterentes, soit par des lettres allectées d'indices ou d'accents.

989. Considérons ce problème : « Trouver deux nond^res, cony) ncdssant leur somme et la somme de leurs cubes. »> — Les deux nombres cherchés sont deux inconnues analogues; on les représentera par x el y qui sont deux signes analogues.

Considérons ce nouveau problème : (( Trouver trois nombres en » progression géométrique, connaissant leur somme et (a diffé- » rence des deux extrêmes. » — Il est évident que linconnue du milieu joue un rôle spécial : on la désignera par ^, les deux autres s'appelant u et v.

Considérons ce problème encore : « Calculer les trois côtés » d'un triangle rectangle, connaissant la somme des deux côtés » de L'angle droit, ainsi que la hauteur. » Il y a ici 3 inconnues, <pii sont les 3 côtés; mais l'hypoténuse joue un rôle spécial :

CIIAPITRK IX. — NOTATIONS INITIALKS DES PROBLÈMES. 4'^

on la désiyueia paf r, el 1 on appellera a et v les deux côtés de l'angle droit, (^e sont les notations du problème précédent.

990. Dans les |)rol)lènies de Géométrie, lorsque les inconnues sont des quantités, on procède comme on vient de le faire. Toutefois, pour l'homogénéité, il importe de tenir compte, dans les notations, du degré f^éomélrique de chafpic inconnue.

Si l'inconnue est une aire, on la pourra désigner par x-, ou par a.x, en appelant a une longueur connue, prise à volonté. — Si l'inconnue est un volume, on pourra la désigner par x-\ ou par ax-, ou par a^ x, ou même par abx, les lettres a et b représentant encore des longueurs f|ue Ton se donnera.

Diminution du nombre des inconnues.

991. Dans les problèmes, soit d'/VIgèbre, soit de Géométrie, qui se résolvent par le calcul, on cherche quelquefois à diminuer le nombre des inconnues. Cette diminution, qui n'est souvent qu apparente, est rarement indispensable. Elle a fiéquemment des avantages, mais [)ar(ois des inconvénients.

992. Deux inconnues x ei y avant la somme connue ia et entrant svmétriquement dans une question, si l'on supprime y pour le remplacer par 2rt — .r, on diminue le nombre des inconnues; mais celle diminution est fautive, puisqu'elle détruit la symétrie . — Au contraire, si l'on remplaçait ces mêmes inconnues x et y respectivement par a ^ z ei a — z. le nombre des inconnues serait encore diminué, mais la symétrie ne subirait nulle atteinte : celle diminution serait avantageuse.

Il en serait de même si, l'excès de x sur j' étant 26, on remplaçait X par z -\- b et y ])ar c — b.

993. Supposons que o inconnues soient en progression arithmétique; nous pourrons les désigner par

Supposons que 4 inconnues soient en progression géométrique; nous pourrons les écrire

x^ , x-y, xy-, y^.

Ii6

USAGE

Supposons enfin qu'il s'agisse de calculer 5 nombres en progression arithmétique, connaissant leur somme et celle de leurs carrés : nous pourrons appeler le nombre du milieu u et la raison z.

Il est évident que, dans chacun de ces trois exemples, et sans qu'il V ait la moindre faute, le nombre des inconnues se trouve réduit à 2.

994. Si des inconnues, en nombre quelconque, étaient directement proportionnelles aux nombres donnés a, b^ c, ..., rien n'empêcherait de les désigner respectivement par a\, b\^ cK, .... Le nombre A serait alors une inconnue nouvelle, dite inconnue auxiliaire, dont l'introduction n'aurait cpie des avantages. — Nous verrons plus tard que les calculs, lorsqu'ils sont bien dirigés, indiquent d'eux-mêmes les cas où les inconnues auxiliaires sont avantageuses et la manière dont il les faut choisir.

Choix de l'inconnue.

995. Dans la plupart des problèmes de Géométrie, surtout dans les problèmes dits de construction, l'énoncé n'indique pas explicitement quelles sont les inconnues. Il faut les choisir avec grand soin, car le plus ou moins de difficulté du calcul dépend principalement du choix qu'on aura fait.

996. Il peut arriver que ce choix ne nécessite aucun effort et que la quantité à prendre comme inconnue s'offre à nous d'elle-même. C'est ce qui arrive dans les deux exemples suivants.

Étant donné le triangle ABC, on demande de mener, dans l'analeX, une parallèle au côléVtO qui ait une longueur donnée k.

Soit MN celte parallèle. On prendra pour inconnue la longueur AM