CHAPITRE IX. — NOTATIONS INITIALES DES PROBLÈMES

inconnue, elle sera donc donnée par une équation du second degré seulement.

Ce problème justement célèbre de Pappus a été résolu par des méthodes très diverses; un Ouvrage récent (') en expose jusqu'à sept. Deux ont été données par Newton dans son Arithmétique universelle, dont le premier Volume est un admirable recueil de problèmes.

Coordonnées polaires et bipolaires.

1000. En dehors du système des coordonnées cartésiennes, il existe un certain nombre de systèmes de coordonnées qui peuvent, dans certains cas, être employés avec avantage. Telles sont, principalement, les coordonnées /?o/«f/'e.s- et les coordonnées bipolaires.

1001. Les coordonnées bipolaires sont caractérisées par l'emploi de deux pôles ou oiigines fixes, A et B. Elles sont de deux sortes, car un point quelconque M du plan peut être déterminé soit par ses distances, u et p, à ces deux pôles, soit par les angles, a et ^, que les droites MA, MB font respectivement avec AB et BA.

Lorsque la définition d'un lieu géométrique nous présente 2 points fixes, et i seulement, l'emploi des coordonnées bipolaires est tout indiqué; et l'on n'a plus qu'à choisir celles de la première ou celles de la seconde sorte, suivant cpi'un jioint quelconque est déterminé par 2 distances ou 2 angles.

C'est le svstème où l'on se sert des distances qu'il faudrait employer pour l'ellipse et |DOur l'hyperbole, lorsqu'on les définit à l'aide de leurs loyers. — C'est lui qu'il faudrait emplover aussi pour les lignes où l'on assujettit à être constante soit une fonction linéaire quelconque des longueurs u et c, soit une fonction du second degré de ces mêmes longueurs, par exemple leur produit ou la somme de leurs carrés. On écrirait alors immédiatement

mu -T- nv = k, uv=^ k- , u- ~ r- = k^ ;

et ces différentes équations ne seraient respectivement que les traductions exactes des définitions ci-dessus.

(') Desboves, Questions d'Algèbre élémentaire, in-S", Paris, 1878, p. 3(8.

420 TROISIÈME PARTIE. — t'SAGE.

1002. Les coordonnées simplement polaires déterminent chaque point par un rayon p et un angle w, l'origine de ce rayon étant un point fixe appelé pôle, et le premier côté de cet angle, une droite fixe appelée axe polaire.

Ces coordonnées conviennent surtout aux cas où les lieux considérés uliliseut, dans leur définition géométrique, une droite mobile, passant constamment par un point fixe. — Pour étudier les différentes spirales, le limaçon de Pascal, la conchoïde de Nicomède, on se servira des coordonnées polaires. — On s'en servira aussi pour résoudre ce problème : Troin'er les trajectoires du faisceau des droites issues d^ un point fixe donné.

1003. On peut ï\\)i^e\ev tiansformation centrale toute transformation géométrique dans laquelle la droite menée par deux points homologues quelconques M,, jNK passe constamment par un point fixe O appelé yod^e ou centre de transformation.

L'emploi des coordonnées polaires ayant O pour pôle permet d'écrire immédiatement la loi de la transfoimalion. — Si Ion appelle 0,, Oo les rajons vecteurs des deux ])oints homologues y\\, Mo, \ homothétie s'exprimera par la relation

où A-, et /.o désignent des nombres. — La transformation qui donne les conchoïdes s'exprimera par

Et l'équation

définira la transformation par /riyons vecteurs réciproques.

Coordonnées cartésiennes dans le plan.

1004. Lorsque l'on veut, dans le plan, employer des coordonnées cartésiennes, il en faut tout d'aliord choisir l'origine. Si, dans la figure que l'on considère, un point joue un rôle considéralde, n'appartenant qu'à lui seul, c'est ce point que l'on choisira. On prendra donc, pour origine des coordonnées cartésiennes, chacun tics points