CH\PITRE IX. — NOTATIONS INITIALES DES PROBLÈMES

que nous avons pris, dans notre avant-dernier paragraplie (1002), comme pôle des coordonnées polaires.

Si la figure possède soit un centre, soit un fover unique, soit un point multiple, unique aussi, on pi'endra encore ce point pour origine. — Le ciioix du point multiple est surtout avantageux lorsqu'on représente le lieu cherché sous forme paramétrique.

D'ailleurs, comme les calculs lelatils à la forme d'une courbe en i'un de ses points se simplifient beaucoup quand ce point est à l'origine, on fera bien, lorsqu'on voudra étudier minutieusement une courbe autour d'un de ses points, de prendre ce point pour origine et, pour axes des coordonnées, la tangente el la normale à cette courlje. en ce point.

lOOo. Ce sont les considérations de symétrie qui doivent surtout nous guider dans le choix des axes de coordonnées. — Supposons qu'il se trouve parmi les données de la question deux points, et deux seulement, jouant absolument le même rôle, comme cela arrive quand on cherche l'équation cartésienne d'une ellipse définie par ses foyers; nous prendrons, pour axe des .r, la droite indéfinie passant par ces deux points et, pour axe des y, la perpendiculaire élevée sur cette droite, au milieu de la distance qui les sépare. Il serait très mauvais de prendre l'un de ces points pour origine.

Mais, pour opérer comme nous venons de le (aire, il faut que les deux points jouent le même rôle absolument. — Considérons deux cercles et cherchons leur axe radical, c'est-à-dire le lieu des points d'égales puissances par rapport à eux. On choisira pour axe des x la ligue des centres de ces cercles; mais on prendra pour origine un point quelconque de cette droite, non lié aux données. Il serait mauvais de prendre l'un des deux centres. Quant au milieu de leur distance, on ne pourrait y placer l'origine que si les deux cercles étaient

eîraux.

1006. Si la figure que l'on étudie possède un axe de symétrie, on prendra cette droite pour l'un des axes de coordonnées, par exemple pour l'axe des x : le second axe devrait lui être perpendiculaire. — Si la figure nous présentait deux axes de symétrie perpendiculaires entre eux, il les faudrait prendre pour axes de coordonnées. — Mais si elle en possédait plusieurs, passant tous

par le même point, il conviendrait de revenir aux coordonnées polaires a\aT]l ce point pour pôle.

Il existe parfois, ponr la figure, ce qu'on pourrait appeler une syméli'ie penchée. C'est ce qui arrive lorsque la figure nous oflTre une droite qui est le diamètre des cordes parallèles à une certaine direction oblique. Celle droite devia être prise pour l'un des axes de coordonnées et l'aulre axe devra êlre parallèle aux cordes considérées. Ces deux axes seront alors obliques; mais il n'en résultera d'inconvénients que si la question exige qu'on exprime dans les calculs des angles ou des dislances.

Soit dans la svmèlrie parfaite, soit dans la symétrie penchée, dès que les axes sont choisis comme nous venons de l'indiquer, l'équation du lieu se simplifie beaucoup. Dès que l'axe de symétrie ou le diamètre considéré est pris pour axe des x., l'équation, supposée algébrique, ne contient plus que des puissances paires de j'.

1007. Lorsque, dans une question de Géométrie analvlique, deux droites concouranles jouent le même rôle, il est bon de les prendre pour axes de coordonnées : c'est, par exemple, ce qui! convient de faire, et ce que l'on fait |)resque toujours, quand on étudie les coniques inscrites dans un angle. — Si l'on tenait à avoir des axes de coordonnées rectangulaires, on pourrait prendre pour ces axes les bissectrices des angles formés par les deux droites concouranles données.

Noyau polygonal.

1008. En coordonnées cartésiennes, le choix des axes revient à celui de deux droites concourantes. Il s'ensuit que nous ne disposons, dans celte opération, que de deux indéterminées et, par conséquent, que nous ne pouvons choisir des axes convenant parfaitement aux figures données que dans le cas où ces figures contiennent seulement deux éléments analogues.

Certaines figures toutefois, qui en contiennent un plus grand nombre, peuvent être rapportées à des axes de coordonnées qui leur soient en quelque sorte adéquats. Le parallélogramme, par exemple, peut êlre rapporté soit à ses diagonales, soit aux parallèles à ses côtés menées par son centre. Mais c'est là un cas tout à fait