CHAPITRE IX. — NOTATIONS INITIALES DES PROBLÈMES

exceptionnel. Dès que la figure nous présente plus de deux éléments analogues, nous ne pouvons, en général, faire un bon choix de coordonnées cartésiennes.

1009. Considérons le cas le plus simple, celui où la figure nous présente trois éléments de même sorte. Soient, par exemple, 3 points non en ligne droite, jouant le même rôle. Si l'on prend l'un d'eux pour origine, on le traite d'une façon particulière; si l'on prend |)our axe des x la droite qui passe par deux d'entre eux, ces deux points sont en quelque sorte avantagés. — De même, si la figure nous présente 3 droites analogues, il n'en faut prendre ni une ni deux pour axes de coordonnées. On peut citer un très bon Ouvrage où, les 3 côtés diin triangle jouant tout à fait le même rôle, fauteur en choisit deux pour axes. Ce choix est évidemment très mauvais.

Comment donc choisir les deux axes dans le cas général de n points analogues? En les prenant absolument quelconques, c'està-dire en les prenant de telle sorte qu'aucun des deux ne passe par l'un des points donnés, ni ne soit parallèle à la droite qui joint deux d'entre eux. On appellera les points i , 2, ...,/?; leurs coordonnées •2^(jKi> •^2jK25 •••■, ^iij'fi- — il sera souvent avantageux de prendre pour origine le centre de gicwité du sjslème des n points donnés, considérés comme n poids égaux.

Dans le cas de n droites analogues, on opérerait de même, ayant grand soin de ne prendre, pour axe des x ou des y, aucune des droites données, ni aucune des parallèles à ces droites.

lOlO. Cette manière de choisir les deux axes de coordonnées répond à la question d'une façon en quelque sorte négative. Pour y répondre mieux, il faudra abandonner les coordonnées suffisantes de Descartes, el avoir recours au\ coordonnées surabondantes de Bobillier (302).

Supposons que la figure étudiée possède un noyau polygonal, b"est-à-dire un système de n droites fixes, y jouant toutes le même rôle. On la rapportera à ce svstème; chaque droite sera regardée comme un axe, et chaque point du plan sera déterminé par ses distances à ces n axes. Chaque point possédera ainsi n coordonnées; ces n coordonnées ne seront point indépendantes les unes des

autres; dès que deux d'entre elles seront connues, toutes les autres s'en déduiront; mais il importe de les conserver toutes dans les équations, afin que les n droites données soient toutes Irailées de même. — Ce sont là, nous le répétons, des coordonnées surabondantes, tout à lait en rapport avec le système des n droites données. Les coordonnées trilinéaires, si Iréquemnienl employées, nous en offrent le premier exemple. Le novau de la figure est alors un triangle; mais il peut être un quadrilatère, un pentagone, . . ., un polygone de ?i côtés. Ce ])olygone, quel qu'il soit, sera le polygone de référence.

Coordonnées dans l'espace.

lOJ 1 . On retrouve, dans la Géométrie analytique à 3 dimensions, des systèmes de coordonnées presque identiques à ceux de la Géoméliie plane. — D'abord le système tripolaire, où un point quelconque est déterminé par ses dist.mces à 3 points lixes : il est surtout à employer lors(pie la question nous présente 3 points fixes jouant tout à fait le même rôle. — Ensuite le système simplement polaire, où l'on prend pour coordonnées une longueur, dite rayon vecteur, et deux angles, l'azimut' et la dislance zénithale : ce système est surtout avantageux pour les surfaces de révolution, car si l'on prend pour pôle un point de leur axe, et pour distance zénithale V l'angle du rayon vecteur p avec cet axe, l'é(juation de la surface se réduit à une relation entre p et v. — Enfin les coordonnées rectilignes ou cartésiennes , rectangulaires ou obliques, qui sont de beaucoup les plus employées.

10112. Il est des cas où le choix de l'origine et des 3 axes de coordonnées est tout indiqué par l'usage. — Pour étudier une surface autour d'un de ses points, on prend ce point pour origine; la normale qui y passe pour axe des z] le plan tangent en ce |)oint pour plan des xy. — Pour étudier une courbe gauche en un point, on prend encore ce point pour origine, et Ion choisit, pour trièdre des coordonnées, le trièdre trireci angle avant pour arêtes : la tangente, la normale principale et la hinormale.

1013. Si la ligure donnée nous oll're un plan de symétrie ou un