MISE EX ÉQUATIONS

Quantités intermédiaires.

1016. L'inconnue ou les inconnues du problème ayant reçu des noms, il s'agit de relier par des équations ces inconnues aux données, c'est-à-dire, suivant l'expression consacrée, de mettre le prohlènie en équations. Cette opération n'est pas toujours commode. Dans beaucoup de cas, on la facilite grandement par la considération de certaines quantités qui touchent d'une part aux inconnues, de l'autre aux données, qui établissent entre celles-ci et celles-là comme des sortes de ponts, et que nous nommerons quantités intermédiaires.

1017. Considérons ce problème :

« Deux vases, de capacités données a et b, contiennent chacun » un mélange d'eau et de vin. Quelle capacité x doivent avoir » deux vases égaux pour que, les remplissant à la fois, V un » dans le premier des vases donnés, C autre dans le second, et » versant dans chacun d^ eux ce qui a été pris dans V autre, on » obtienne, dans les deux vases, la même proportion d^eau et » de vin ? »

On ne voit pas tout d'abord la relation qui existe entre x, a et b. Mais si l'on prend, comme intermédicdres, les cpiantités a et !3 de vin pur contenues dans les deux vases, on peut écrire assez facilement l'équation du problème. Cette équation est du premier degré ; elle ne contient plus ni a, ni |3 ; elle nous donne finalement

formule remarquable, qui résout la question.

1018. Le cé\èhve problème des bœufs, qui paraît dû à Newton, peut s'énoncer ainsi :

(( Trois prés ont pour aires respectives «', a", a'", et l'herbe, « d'abord de même hauteur dans chacun d'eux, y croit d'un •^ mouvement uniforme. Le premier pré peut /wurrir n' bœufs » en t' heures; et le deuxième n" bœufs en t" heures. Combien » le troisième peut-il en nourrir en t'" heures? »

On considère trois quantités intermédiaires : la hauteur initiale h de l'herbe dans les trois prés; la vitesse v de sa croissance; la consommation cd'nn bœuf en une heure, cette dernière quantité étant évaluée en mètres cubes et les deuK précédentes en mètres linéaires. On désignera l'inconnue qui figure dans l'énonci' du problème par n'" et non |)as par .r; et l'on trouvera alors, d'une façon pour ainsi dire immédiate, les trois équations pareilles

n" et" = a" (h -+- l't"),

n'" et'" == a"'{h -{- vt'"),

qui correspondent respectivement aux trois prés et qui donneraient l'un quelconque des nombres n', /?", n'" en fonction des deux autres.

1019. Parmi les tours de caites, assez peu nombreux, rjui se font uniquemenl par les nombres, on peut citer celui qui revient à ce problème :

a Les 02 cartes d' un Jeu o/)t été distribuées en tas de telle sorte w fjue, dans chaque tas, la valeur de la carte placée sous toutes » les autres, ajoutée au nombre de celles-ci, donne toujours le )' même total i3. Le nombre des tas formés est t, celui des cartes )) restantes est r. Calculer la somme \^des valeurs des cartes » placées sous tous les tas, connaissant seulement r et t. »

La mise en équations devient très facile, si l'on considère deux séries de quantités intermédiaires, savoir : les valeurs Cj, Co, . . ., V[ des cartes placées sous chaque las; les nombres /i,, /?2, • • • , 'U des cartes qui leur sont superposées. On peut écrire alors les l

C}I.\P1TBE X. — -MISE EN EQUATIONS. (iQ

équations

lesquelles nous donnent, par addition membres à membres,

formuleqiii résout c.omplt'tement le problème, et ne contient aucune des quantités intermédiaires.

1020. Il est toujours bon de tenir compte, pour les notations, des analogies ou différences qui existent entre les ([uantités intermédiaires, les inconnues et les données. Dans le problème des vases, les quantités intermédiaires sont les quantités de vin pur contenues dans les deux vases; elles correspondent aux capacités a et ^; aussi les appelons-nous a et |3. — Dans le problème des bœufs, les quantités intermédiaires sont chacune symétriques par rapport au\ trois prés : voilà pourquoi leurs noms A, v^ c ne rappellent aucun d'eux. — Dans le problème des cartes, les quantités intermédiaires correspondent aux différents tas et, par conséquent, se correspondent chacune à chacune : les indices dont elles sont affectées peuvent être regardés comme les numéros de ces différents las.

Coefficients indéterminés.

1021. Les coefficients indéterminés doivent être rapprochés des f|uantités intermédiaires Employés systématiquement, ils constituent une méthode de calcul qui est attribuée à Descartes.

1022. On en lait fréquemment usage dans Vélimination. Soit à

tirer du système

la valeur de l'inconnue x. On ajoute les 3 équations après les avoir

43o TROISIÈME PABTIE. — USAGE.

iniillipliées respectivement par les coefficients indéterminés )/, 7", "a"', puis on annule, dans l'égalité obtenue, le coefficient de y et celui de z. On arrive ainsi à deux équations homogènes en X', A", )/"; par suite, à des expressions auxquelles ces coefficients sont proportionnels; et finalement à la valeur cherchée de x. — D'ailleurs, les coefficients que nous avons nommés )/, a", *a'" n'auraient pu être désignés par A, p., v : ils coiTespondent, en effet, respectivement aux 3 équations données, et ces équations sont caractérisées par leurs accents.

1023. Soit à rendre maximum le produit

On le remplace par le produit

qui est maximum en même temps que le précédent, puisque les nombres a, jj, v sont indéterminés, mais non pas variables. On écrit ensuite : d'une part, que les 3 facteurs considérés ont une somme constante; de l'autre, qu'ils sont égaux. El l'élimination des 3 indéterminées entre les 3 équations ainsi obtenues conduit à léqualion unique, qui donne la valeur de x. — Ces calculs sont ceux auxquels conduit le problème de la boite, lequel consiste à enlever, aux quatre coins d'une feuille de carton rectangulaire, quatre carrés égaux, de façon que le parallélépipède formé par la feuille ainsi découpée ait un volume maximum.

Une foule d'autres questions de maximum ou de minimum se résolvent de même par l'emploi des coefficients indéterminés. Nous pouvons citer celle-ci : « Par?ni tous les cônes de révolution inscrits dans une sphère donnée, quel est celui dont la surface totale est maxinia? »

1024. La décomposition des fractions rationnelles s'etlectue aussi par la méthode des coefficients indéterminés. Considérons la fraction