CHAPITRE X. — MISE EN ÉQUATIONS. 43l

l*oiir la décomposer, nous l'égalerons à la somme

En chassant les dénominaleurs, puis identifiant les deux membres, nous pourrons calculer les 5 coefficients indéterminés placés en numérateurs. — On peut remarquer que les notations employées présentement sont celles que l'usage a consacrées.

lO^o. C'est encore ce procédé qu'on emploierait pour développer

en série entière : soit une fonction explicite donnée, par exemple

une fraction algébrique; soit l'intégrale générale d'une équation

diflerentielle ordinaire. Désignant la variable par x^ on écrirait la

série

et l'on opérerait par identification.

Dans le cas très fréquent où l'on aurait à considérer, en même temps que la série, une ou plusieurs de ses dérivées successives, il conviendrait de diviser chaque puissance de x parla faclorielle correspondante, et de mettre la série inconnue sous cette nouvelle forme

or T*^ 0^3

«0 + «1 ~T "^ "2 ;7i + «3 TT — • • • 7

la présence des factorielles supprimant les facteurs numériques qui pourraient s'introduire dans la différentiation.

Paramètres.

1026. La Géométrie pure et la Géométrie analytique font un usage continuel des quantités intermédiaires. On nomme alors ces i\naiililés paramètres auxiliaires ou simplemenl paramètres .

1027. Soit à démontrer dans le plan, par la Géométrie pure, qu'une ligne brisée convexe est plus petite que toute ligne enveloppante ayant même origine et même extrémité. Parcourant cette ligne brisée dans un sens déterminé, on en prolonge chaque côté

jusqu'à sa rencontre avec la ligne enveloppante. Les prolongements ainsi tracés sont des quantités intermédiaires, qui permettent d'écrire une suite d'inégalités, et finalement disparaissent.

Qu'il s'agisse, d'ailleurs, de démontrer un théorème ou de résoudre un problème, le choix des paramètres peut s'effectuer d'une multitude de manières. Ce choix n'est pas toujours également heureux; mais il est bien évident que c'est de lui que dépend le plus ou moins de simplicité de la démonstration ou de la solution.

1028. Dans les problèmes de Géométrie analytique, on se sert aussi fréquemment àe paramètres auxiliaires.

Supposons qu'on nous demande de former, dans le plan, l'équation de la droite passant par deux points donnés. Nous partirons

de l'équation

nous écrirons que cette équation est vérifiée par les coordonnées de chacun des deux points; puis nous éliminerons a, [S et A. — Or, que sont les coefficients a, j^etA, sinon des quantités intermédiaires, des paramètres?

Supposons maintenant qu'on nous demande les conditions pour qu'un plan donné coupe suivant un cercle une surface du second degré donnée. Nous remplacerons cette surface par son cône asymptotique et ce plan par le plan parallèle mené par l'origine; nous associerons à ce dernier plan un plan nouveau, indéterminé,

a .r -h JijK H- Y 5 = o ;

nous formerons, d'une part, l'équation du svstème des deux plans associés, de l'autre, celle du système des (piadriques passant par l'intersection du cône asymptotique avec la sphère de ravon nul qui a pour centre l'origine. Identifiant ces deux équations à l'aide d'un facteur indéterminé À, nous obtiendrons des relations entre lesquelles nous éliminerons a, 3, y, A, c'est-à-dire les 4 paramètres auxiliaires figurant dans la question; et nous obtiendrons ainsi les conditions demandées.

On peut le remarquer, dans les deux questions qui précèdent, en écrivant, à l'aide de paramètres indéterminés, l'équation de la droite ou du plan répondant à la question, nous n'avons fait que

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supposer le problème résolu, (inappliquer en d'autres lernies un procédé analytique qui remonte à Platon (').

Représentation des courbes planes.

1029. Dans l'espace comme sur un plan, une ligne peut èlre définie : soit d'une façon géométrique, par une propriété commune à tous ses points; soit d'une façon mécanique, par le mouvement d'une fig^ure. Mais, dans l'un et l'autre cas, les coordonnées du point décrivant sont fonctions d'une seule variable indépendante. Si elles paraissaient l'être de «, c'est que ces n variables seraient liées entre elles par n — i équations. Il n'y aurait toujours, en dernière analyse, qu'une variable indépendante uni(jue.

1030. Quoi qu'il en soil, toutes ces variables, indépendantes ou non, sont des quantités intermédiaires et se nommeuV paramètres. Comment les choisir? En étudiant attentivement la façon dont on détermine le point décrivant.

Supposons que l'on considère une courbe F; la tangente au point M de cette courbe; puis un point l dont la position dépend de cette tangente et, par conséquent, de ce point M. Pour obtenir le lieu du point I, on pourra prendre, comme paramètres, les coordonnées du point de contact Al.

Lorsque le lieu d'un point est défini par un mouvement, il est très souvent avantageux de prendre pour paramètre un angle. C'est ce que l'on fait lorsqu'on étudie la cjcloïde, l'épicycloïde, etc. : on considère le cercle qui roule sur l'axe ou la circonférence fixe, et l'on prend pour paramèlte l'angle dont ce cercle tourne à partir d'une position donnée.

1031. Pour obtenir Téquation d'un lieu en coordonnées cartésiennes, on passe souvent par un système de coordonnées plus en rapport avec la définition du lieu. On prend ainsi, dans une première recherche : l'équation de l'ellipse en coordonnées bipolaires; celle

(') Né en 43o av. J.-C, mort en 347.

de la cissoïde en coordonnées polaires ordinaires. Puis, en changeant de coordonnées, on élimine u et v^ dans le premier cas; p eto), dans le second. Ces premières coordonnées u et i', p et w n'ont été évidemment qne des quantités on paramètres intermédiaires.

1032. Si le point dont on cherclie le lieu est à l'intersection de deux courhes mobiles ayant pour équations

ç)(.r, jk; ?0 = o, x.(,r, /; X) — o,

et qu'on puisse résoudre, j)ar rapport à x et j^, le système de ces deux équations, on arrive aux formules

qui constitueni une représentation paramétrique de la ligne cherchée.

Nous avons déjà vu qu'on nomme, en général, I le })aramètre que nous désignons ici par- X, et qu'on le nomme ainsi parce que t est l'initiale du mot temps. — Nos élèves nomment souvent C0Mr6e5 eti t les courbes ainsi représentées. — On sait qu'on appelle courbes unicursales celles où x el y peuvent s'exprimer en fonctions rationnelles du paramètre.

11 est, d'ailleurs, évident qu'il suffit, dans tous les cas, d'éliminer ce paramètre pour obtenir l'équation qui lie y k x., c'est-à-dire l'équation proprement dite du lieu.

1033. Une courbe déterminée est susceptible d'une tbule de représentations paramétriques, car ces représentations dépendent de la définition qu'on a donnée du lieu et du paramètre qu'on a choisi; mais, par rapporta un système d'axes donné, elle ne comporte qu'une seule équation en .r, j', puisque cette équation ne dépend ni de ce paramètre, ni de cette définition. Les courbes planes sont donc caractérisées par leurs équations respecti^'cs . Ces équations permettent donc de les reconnaître et de les classer. — La représentation paramétrique ne nous olïre aucun de ces avantages; mais elle en possède un autre, qui est fort appréciable : elle nous donne une facilité très grande pour étudier la courbe, et surtout pour la tracer.