CHAPITRE \. — MISE EN ÉQUATIONS

Courbes gauches et surfaces.

1034. Lorsqu'uD point décrit une ligne gauche, comme lorsqu'il décrit une ligne plane, ses 3 coordonnées sont fonctions chacune d'une variable indépendanle unique, qu'on nomme encore paramètre. INJais, pour ol)lenir ces 3 fonctions, on emploie souvent des paramètres auxiliaires autres que le paramètre final. C'est en éliminant toutes ces quantités intermédiaires (|ue l'on arrive aux 3 relations

qui constituent une représentation paramétrique de la courbe. Pour la raison que nous avons dite, le paramètre unique se désigne presque toujours par t. Si on l'éliminait à son tour entre les 3 équations qu'on vient d'écrire, on obtiendrait le système des deux équations

f|ui représentent chacune une surface, et qui, prises simultanément, représentent la courbe considérée. Cette courbe nous est alors donnée comme l'intersection de ces deux surfaces.

I03o. Tout point d'une surface a chacune de ses coordonnées fonction de deux variables indépendantes qu'on nomme encore paramètres. On les désigne d'habitude par m et v, sans doute parce que dans l'alphabet u et v sont les deux lettres qui suivent t. Quand on cherche à représenter la surface, on considère souvent d'autres paramètres, qui sont des quantités intermédiaires, mais qui doivent être liés entre eux et avec les premiers par un nombre convenable d'équations. En éliminant les paramètres de cette sorte, on arrive finalement à 3 équations en 5?, y, s, u et p, lesquelles, résolues par rapport à :r, j", s, nous donnent, pour la surface considérée, la représentation paramétrique

D'ailleurs, il suffirait d'éliminer u et ç entre ces dernières équations pour obtenir une relation, indépendante de tout paramètre,

entre les coordonnées d'un point quelconque de la surface; pour obtenir, en d'autres termes, réqualion proprement dite de celle surface.

1036. Sur le plan, il n'existe qu'un seul être géométrique : la ligne. Dans l'espace, il en existe deux : la ligne et la surface. Dans l'espace à 4 dimensions, il en existerait 3; dans l'espace à 5 dimensions, il en existerait 4, et ainsi de suite.

Les coordonnées d'un point d'une ligne sont fonctions d'une seule variable indépendante, (belles dun point d'une surface sont fonctions de deux. Dans les espaces à plus de 3 dimensions, ou, comme on dit, dans les liyperespaces, on trouverait des êtres géométriques où les coordonnées de chaque point seraient (onctions de variables indépendantes en nombre supérieur à a, ou plutôt en nombre quelconcpie.

Constantes arbitraires.

1037. Supposons qu'une question de Géométrie analytique nous ait conduits à n équations entre, les deux variables j;, y et les n paramètres a, 6, c, .... Nous pouvons, entre ces équations, éliminer n — i de ces paramètres, et nous obtenons, par cette élimination, une équation finale unique, ne contenant plus (ju'un seul paramètre et aifectant, par conséquent, la forme

Ce paramètre a est une constante qui peut recevoir toutes les valeurs numériques possibles et que l'on nomme, pour cette raison, constante arbitraire. A chacune de ces valeurs correspond une équation et, par conséquent, une courbe. On peut donc dire, lorsqu'on laisse a indéterminé, (pie l'équation ci-dessus représente une inlinité de courbes : elle en représente une infinité simple. Ces courbes, d'ailleurs, par le fait seul de leur commune origine, sont analogues et ont entre elles un air de parenté; aussi dit-on que, toutes ensemble, elles forment une famille de courbes.

Si le nombre des paramètres eût été supérieur à /?, rélimlnation de n — I d'entre eux entre les n équations considérées nous eût conduits à une équation finale contenant 2, 3, . . . constantes arbi-