CHAPITRE X. — MISE EN ÉQUATIONS

traires, el représentant, par conséquent, une Infinité double, triple, . . . de courbes analogues. On eût dit encore que ces courbes, prises toutes ensemble, constituaient une famille.

1038. Il en est de même dans l'espace. L'équation

où a est une constante arbitraire, représente wne famille de surfaces qui en contient une infinité simple. — Le système des deux équations

représente wne famille de courbes généralement gauches. Nous avons vu que les 3 équations

x=f{u,v), y = griu,i>), z = /i(u,v),

où u el V sont deux variables indépendantes, représentent /^rt/'rtmetriqiiemenl une surface. — Si l'on y suppose c fixe et qu'on y fasse varier u, on obtient une famille de courbes situées sur cette surface : si, laissant, au contraire, u (ixe, on fait varier c, on en obtient une seconde. On dit parfois que ces deux familles sont deux réseaux placés sur cette surface. — D'ailleurs, les valeurs particulières de u et V répondant aux deux courbes (une de chaque famille), qui se coupent en un point donné de la surface, peuvent être regardées comme les coordonnées curvilignes de ce point.

\)e même que sur le plan, on peut avoir, dans l'espace, des familles, soit de courbes, soit de surfaces, dépendant de 2, 3. ... paramètres, el contenant, par conséquent, une infinité double, triple, ..., de courbes ou surfaces analogues.

1039. Quoi qu'il en soit, les courbes ou surfaces composant une famille se distinguent les unes des autres par les valeurs numériques attribuées aux paramètres ou constantes arbitraires. Pour obtenir une propriété commune à toutes ces courbes ou surfaces, il suffit de trouver, entre les coordonnées, une relation indépendante de ces constantes. On est ramené ainsi au problème classique de V élimination des constantes arbitraires, el cette élimination, eflecluée entre l'équation donnée et celles qu'on en lire par différentiation, est l'une des sources principales des éciuations différentielles.

1040. Comme nous l'avons déjà fait remarquer (1222), il convient, quand on écrit les fonctions, d'j séparer, par un poinL-et-virgule ou un trait vertical, les variables des constantes arbitraires. — Pour ce qui est de ces constantes elles-mêmes, on les désigne par les premières lettres a, 6, c, ... de Talphabet, ou par une même

lettre affectée d'indices, C,,C2,G3, Si ces constantes formaient

différents groupes, les notations devraient rappeler ces groupes : les notations doivent toujours s'inspirer de la classification.

Fonctions arbitraires.

lOi'l. Dans les questions très générales, on introduit parfois des fonctions indéterminées, dites fonctions arbitraires, ayant pour objet de lier entre eux certains paramètres. Il en résulte que certaines équations nous présentent de pareilles fonctions.

104'2. Supposons qu'on nous demande l'équation générale des

surfaces cylindriques, c'est-à-dire des surfaces engendrées par une

droite indéfinie, de direction fixe, qui se meut suivant une loi donnée.

Nous désignerons par

les équations de la droite fixe qui détermine la direction considérée ;

par

celles de la droite mobile qui engendre la surface, À et \i. étant deux paramètres variables. — Dire que la droite se meut suivant une loi donnée, c'est dire que \ et ijl dépendent l'un de l'autre, qu'ils sont liés par une certaine équation

oîi cp est une fonction arbitraire. — Pour obtenir l'équation générale cherchée, il nous suflil donc d'éliminer A et p. entre les 3 équations

P=l, Q = [^, Cp(X, fJL)=0.

L'équation résultante