CHAPITRE X. — MISE EN ÉQUATIONS

représente ton Les les surfaces cylindriques possibles; elle renferme, on le voit, la fonction arbitraire es.

On trouverait de même une fonction arbitraire dans l'équation générale des cônes, dans celle des conoïdes, dans celle des surfaces de révolution, etc., etc.

1043. Certaines questions conduisent même à considérer deux ou p\i}s\eurs fonctions arbitrai/-es. \.a cons'ruence la plus générale des droites

X =: az -h p, y =z b z -T- q

se représenterait par l'ensemble de ces deux équations et des deux

relations

(fia, b;p, q)-^- o, y(a, b\ p, q)= o,

OÙ cp et y seraient des fonctions arbitraires.

lOi'i. Quoi qu'il eu soit, à toute forme particulière de la fonction arbitraire figurant, par exemple, dans l'équation générale des surfaces cylindriques, correspond une surface cvlindrique particulière. L'élimination de la fonction arbitraire entre l'équation générale et celle qu'on en déduit par dilTérentiation donnerait une relation indépendante de cette fonction, relation qui exprimerait, par conséquent, une propriété commune à toutes les surfaces cylindriques. Cette relation, on le sait, comme toutes celles que donne V élimination des fonctions arbitraires, n'est autre chose qu'une écjaation aux dérivées partielles. L'élimination des fonctions arbitraires est Tune des origines de ces équations.

104o. On choisit d'habitude, comme caractéristiques des fonctions arbitraires, les lettres grecques cp, y, '}, ... ; mais ce choix n'est point forcé; on pourrait prendre d'autres lettres quelconques, pourvu que leur forme marquât nettement la nature spéciale de ces fonctions.

Homogénéité véritable.

1046. On ne peut égaler une quantité quelconcjue qu^à une quantité de même nature : une longueur à une longueur, un

44o TROISIÈME PARTIE. — USAGE.

volume à un volume, un poids à un poids. Voilà le principe évident d'où découle, dans toutes les parties des Mathématiques, Vhotnogénéité (M géométrique ou, comme on dit d'une façon plus générale, V homogénéité de dimensions, Y homogénéité véritable.

1047. Toute équation relati^^e, soit à une question de Géométrie, soit à une question de Physique, est donc forcément homogène.

Lorsque l'on écrit, sous sa forme habituelle,

l'équation générale du troisième degré à une inconnue, si l'on suppose que x soit une longueur, c'est-à-dire une quantité du premier degré, et que a soit un nombre, c'est-à-dire une quantité du degré zéro, les coefficients 6, c, d auront forcément i, 2, 3 pour degrés respectifs. C'est ce que l'on voit d'ailleurs sur les relations connues qui existent entre les coefficients et les racines.

L'équation

kx -\- BjK -+- Ci; -I- K = o

représente un plan. Les coordonnées x. y, z sont des longueurs. Si les coefficients A, B, C sont du degré zéro, K. est du premier degré.

En coordonnées rectilignes rectangulaires, l'équation

x^ -\- y- -h z- -+- -i a X -{- •!. by -f- 2 <;• .3 -i- k = o

représente une sphère. Les coordonnées x, y, z étant toujours des longueurs, les coefficients a, b, c sont forcément du premier degré, et le coefficient k est forcément du second.

1048. Toutes ces équations sont homogènes, mais elles sont mal écrites, parce que l'homogénéité réelle, celle ({ui est dans la nature des choses, ne s'v manifeste point parles notations. Pour la rendre évidente, il faudra les écrire mieux.

L'équation du troisième degré qui précède s'écrira

«0^'-+- «1 ar--h «2^ -I- «3 = o, chaque coelfîcient exprimant son degré par son indice.

(') Le mot liomogène figure dans Vicie {Jsagoge in artem analyticen).