CHAPITRE X. — MISE EN ÉQUATIONS

L'équation du plan s'écrira, à l'aide d'indices,

«0 r -f- boY -f- Co ^ -1- kl = o, ou, sans indice,

ax-^by-{-cz-~\s. = o,

les minuscules étant, dans cette seconde é(:|uation, des coefficients du degré zéro, et la majuscule, un coefficient du premier degré. L'équation de la sphère s'écrira

r^ -H jK^ -1- .3- -^ 2 « 1 .r -I- 2 6 1^ -I- 2 c 1 s -+- A-i = o,

ou bien

x^- -\- y^ -\- z^ ^ lax -[- iby -f-2C^-T-K = o,

les coefficients indiquant de même leurs degrés : dans la première équation par leurs indices, dans la seconde par leurs grandeurs.

1049. Il est à remarquer que, quand les équations initiales sont ainsi écrites, l'homogénéité est en évidence, non seulement dans ces premières équations, mais dans toutes celles qu'on en pourra déduire. L'homogénéité des équations est une qualité, un caractère qui persiste dans tout le cours du calcul.

Homogénéité apparente.

lOoO. (]omme nous venons de le voir, les équations, quelles qu'elles soient, possèdent toujours forcément V homogénéité de dimensions ; mais c'est à la condition qu'on y tienne compte, non seulement des variables, mais aussi des coefficients ou paramètres. Lorsque l'on n'y considère que les variables, l'équation tantôt est homogène, tantôt ne lest pas. L'équation

a X- -+- by- -{- c z- -h 2 kyz -+- 2 Izx 4- 2 m xy = o,

qui représente un cône du second degré ayant son sommet à l'origine, est homogène en ic, y, z. — L'équation générale des surfaces du second degré ne l'est pas, puisqu'elle contient, en x, y, ^, des ternies du second degré, des ternies du premier, et des termes du degré zéro.

Or, les polynômes entiers, homogènes par rapport aux variables,

c'est-à-dire les formes algébriques, possèdent des propriétés remarquables. Quand elles sont du second degré, elles se réduisent à des sommes algébriques de carrés; — quand de degré quelconque, elles se transforment, surtout par l'identité d'Euler, qui les relie à leurs dérivées partielles. Il serait donc fort avantageux de pouvoir rendre toutes les équations ainsi homogènes par rapport aux variables.

lOol. On j arrive d'ordinaire en introduisant dans l'équation une variable nouvelle, dite variable d' homogénéité , c'est-à-dire en multipliant chaque terme de l'équation par une puissance convenable de cette nouvelle variable. L'équation

de l'ellipse devient alors

fe - ■ = '■

si l'on désigne par t la variable d'homogénéité. — Il est, d'ailleurs, évident que cette introduction de t dans l'équation revient à j remplacer respectivement x ely |)ar - et -> puis à chasser les dénominateurs.

1052. Cet artifice oflre l'avantage de conduire pailois à des formules plus régulières et plus simples. Ainsi, la tangente au point .r, y

de la courbe

non rendue homogène, se représente par la formule

(X-^)/'^ + (Y-jK)./; = o;

tandis que, lorsque l'équation d<; la courbe possède la forme homogène

cette même tangente se représente par la formule

Xcp:,-HY9;,+ Tçi = o, qui est évidemment plus régulière et plus simple.

10o3. Toutefois, cette laçon di; rendre homogènes, par rapport aux variables, les équations <pii ne le sont pas, est loin d être irré-