CHAPITRE X. — MISE EN ÉQUATIONS

prochable. On peut même dire que l'homogénéité qu'elle apporte n'est qu'une homogénéité apparente, mensongère, en contradiction avec l'homogénéité géométrique, qui est l'homogénéité véritable. Les variables x,y^ t sont-elles, en effet, de même nature? 'b\ X ei y représentent deux longueurs, t en représente-t-il une troisième ? On ne peut pas dire, malgré l'usage, que x^ y, t sont des variables homogènes. C'est une faute de le dire. — Au point de vue des notations, cette faute serait encore plus g^rave si, dans la Géométrie analytique à deux dimensions, on remplaçait t par z.

1054. Pour obtenir des cooi'données véritablement homogènes, le meilleur procédé, pour ne pas dire le seul, consiste à choisir des systèmes de coordonnées spéciaux. Dans le plan, par exemple, les coordonnées barycentriques ('); dans l'espace, les coordonnées proposées par Heger (-). On plutôt, d'une façon générale, et dans tous les cas, les coordonnées surabondantes ; c'est-à-dire les coordonnées polygonales dans le plan et, dans l'espace, les coordonnées polyédriques.

Les équations obtenues alors nous présentent à la fois l'homogénéité algébrique et rhomogénéité géométrique; en d'autres termes, l'homogénéité apparente et l'homogénéité réelle. Elles nous conduisent aux formules régulières simples dont nous avons parlé. Si une courbe est re|)résentée en coordonnées Irilinéaires par l'équation homogène

la tangente à cette courbe, au point /j, q, /•, l'est par l'équation

Les vraies coordonnées homogènes, on ne saurait trop le répéter, sont les coordonnées surabondantes.

Symétrie des équations.

lOoo. Dans l'étude générale des lignes et des surfaces, toutes les coordonnées évidemment doivent être traitées de même. On rej)ré-

(') 'S\omvii, Barycentriker Calcul, 1827.

(^) Bulletin des Sciences mathématiques At Darboux, in-S", Paris, 1870, p. ■'.77.

sentera donc une ligne plane soit par les deux équations

soit par l'équation unique

On représentera de même les lignes à double courbure par les 3 équations

OU par les deux équations

/(x,y.z)=:o, ,^ (x,y, z) = o. On représentera enfin une surface, soit [)ar les 3 équations

X = o ( II, V), jK = /(",'' )' z ^ 'Il ( u, v),

soit par l'équation unifjue

fix.y, z) = o.

Dans ces différents modes de représentation, les coordonnées, au nombre tantôt de 2, tantôt de 3, sont toutes traitées de la même façon.

IO06. On peut remarcjuer cpie chacune des équations non résolues

fi^,y) = o, /(.r, jK, -s) = o

nous présente, par rapport aux coordonnées, une symétrie parfaite, tandis que les é(|uations résolues

sont l'une et l'autre dissymétriques. Seulement, dans certaines questions particulières, il peut arriver que cette dissymétrie dans l'écriture corresponde à une dissymétrie inhérente à la question même : elle cesse alors d'être un défaut, pour devenir une qualité.

1057. Beaucoup de formules usuelles, pour ainsi dire classiques, manquent d'une symétrie qu'elles devraient posséder.

Etant donnés, dans un plan, deux points l',, 1\, qui ont pour coordonnées respectives .r,, j^,, .r^, JK21 on exprime souvent les coordonnées x, y du point rpii en partage la distance dans un rap-