CHAPITRE X. — MISE EN ÉQUATIONS

1061. Goiisiilérons une surface quelconque, représentée jDar

l'équation symétrique

En l'un quelconque x, y. z de ses points, son plan tangent sera donné par l'équation

(X-.rj./-^ + (Y-j)/,-f-(Z-5)/l=o,

et sa normale par les équations

Si la surface eût été donnée sous la forme dissymétrique

Z = cp(X,Y), son plan tangent eût dû être pris sous la forme

Z — z — p (X — x) — g ( Y — y), et sa normale sous la forme

p el q désignant les valeurs, au point considéré, des dérivées partielles de Z par rapport à X et \ .

1062. On connaît l'expression du rajon de courbure en un point d'une ligne plane. Cette expi'ession change suivant que la variable indépendante est laissée arbitraire ou qu'elle se confond avec l'une des coordonnées.

Si l'on veut le rHVon de courbure au point x^ y de l'ellipse

où les deux coordonnées sont traitées de même, on exprimera celles-ci à l'aide de V angle auxiliaire cp, et l'on prendra, pour le rayon de courbure, la formule

{ cLv'- -^ dv'-f

dxd-y — dyd^x

448 TROISIÈME PARTIE. — tSAGE.

Si l'on demande le rayon de conrbnre au poinl x, y de la parabole

il sera naturel de prendre X pour variable indépendanle ; on aura recours à la formule

où y' et^" désignent, au point considéré, les dérivées première el seconde de Y par rapport à X.

1063. Soit à résoudre ce problème : Trouver les points où une droite donnée perce une surface donnée.

Si la surface est représentée par ré(|ualion générale

où les 3 coordonnées sont traitées de même, on représentera la droite par les équations

X = a: -I- ap, Y = ^ -i- ^p, Z = J -i- '(p,

a, ^, y étant les cosinus direcleurs, el p le segment (|ui va du point x, y, z au point X, Y, Z.

Si la surface était l'hjperboloïde à une nappe donné par l'équation

OÙ Z entre d'une manière spéciale, il faudrait prendre, pour la droite, les équations

où Z entre de même.

S'il s'agissait du paraboloïde elliptique

il faudrait que les équations de la droite continssent X d'une/aço/î