CHAPITRE XI. — DIRECTION DES CALCULS

par les déterminants, cMifin, chacun des deux systèmes

1096. Le syslème

cy -r- bz = a^

X -h y -+- z = a -i- b -h c, bx -^ cy -h a z = a- -T- b"^ ^ c- , ex ~- ay -h 6^ — a- -f- 62 -u C-.

peut se résoudre par chacun des procédés qu'on vient d'indiquer; mais comme il ne change pas quand on j permute circulairement d'une part x^ r, :;, de l'autre «, 6, c, il suffit de calculer une seule des 3 inconnues; les i autres s'en déduisent mécaniquement.

1097. Soil le syslème ti-ès régulier

ax -^ by-^ cz= k, a-x -i- b-y -i- c'-z ^ /i-, a^x -+- b^y ^ c^ z = k^.

On peut le résoudre par les formules de Cramer; les déterminants qu'elles renferment sont alors des déterminants de Vandermonde; de là des simplifications immédiates. Mais on peut aussi, à cause de sa grande régularité, résoudre ce système pour ainsi dire sans calcul.

Il est évident, en ellet, que si k était égal successivement à a, à 6, à c, le système admettrait successivement les solutions i, o, o; 0, I, o; o, o, I. Il s'ensuit immédiatement

et les inconnues j^ et ^ se déduisent de là par permutations tournantes.

1098. Considérons encore le syslème

by -T- b-^ z

X -i- cy -+- c- z qui est aussi très régulier. Les formules de Cramer nous donneraient

encore, pour x,y^ z-, des expressions qui se simplifieraient beaucoup. Mais ces expressions peuvent aussi s'obtenir sans calcul. Prenons, en effet, l'équation

qui est du troisième degré en U. Les équations du système considéré expriment simplement que a, 6, c en sont les 3 racines. Les relations connues entre les coefficients et les racines d'une équation algébrique nous permettent donc d'exprimer immédiatement ^r, y, :; en fonction de a, b, c.

Inconnues de plusieurs sortes.

1099. Dans une foule de problèmes présentant 3 inconnues, deux de ces inconnues entrent symétriquement, tandis que la troisième joue un rôle particulier. Les /wtations devraient rappeler cetle classification : elles ne la rappellent presque jamais.

1100. Lorsque l'on cherche les trois cotés d'un triangle rectangle, on les nomme ^, y, z, en désignant l'hypoténuse par z. — Il faudrait conserver x el y pour les côtés de l'angle droit, et appeler l'hypoténuse u.

Dans chacun des systèmes

■ip,

xy

im^

xy

az,

z est traité d'une manière spéciale, x et y sont traités symétrique

nient.

Dans le système

zx ^y'^,

c'est, au contraire, j' qui joue le rôle spécial.