AG < AB ^ BG, \ BD < BG -^ CD

i AG<CD-hDA, ] BD<DA + AB.

En ajoutant membres à membres ces 4 inégalités, et divisant tous les termes par 2, nous trouvons

AG -^ BD < AB ^- BG -t- GD -f- DA,

ce qu'il fallait démontrer.

Nous pourrions établir que cette même somme des diagonales est supérieure au demi-périmètre. Nous préférons faire remarquer que, pour écrire les inégalités précédentes, nous avons pris successivement chaque diagonale dans les deux triangles auxquels elle appartient. Ou ne pouvait opérer difleremment. Ces deux triangles, jouant le même rôle, doivent être traités de même.

lllo. Tout le monde connaît le théorème de Ménélaiis (') tou-

cliant les 6 segments déterminés par une transversale sur les 3 côtés

d'un triangle. Soient A, B, C les sommets de ce triangle; a, {3, y les

points où sont coupés les côtés opposés à ces sommets. Le théorème

consiste en l'égalité

Ba.G;i.AY = Ga.AS.Bv,

les segments étant pris en grandeur et en signe. Or cette identité

(' ) 80 ans après J.-C.

est symétrique par rapport aux éléments du triangle; la démonstration devrait donc l'être; d'habitude, elle ne l'est point. Pour la rendre telle, il suffirait d'abaisser, des sommets A, B, C, les perpendiculaires AÂ', BB', ce sur la transversale. On trouverait alors, immédiatement,

Ba BB^ C^ ce A Y AA\

C^~GC' Âp"~AA'' Bv""BB''

et, en multipliant membres à membres,

Ba.Cp.AY = Ga.A^.BY.

Il est évident que cette démonstration symétrique \ievii sélendre au cas d'un polygone plan quelconque coupé par une transversale et, en outre, dans l'espace, au cas d'un polygone quelconque, même gauche, qui serait coupé par un plan.

1116. On rencontre, non seulement en Géométrie, mais en \lgèbre, en Anaivse et dans toutes les parties des Mathématiques, des théorèmes dont les énoncés sont svmétriques par rapport aux données et aux résultats. Leurs démonstrations sont le plus souvent dissymétriques : elles devraient être symétriques toujours. Malheureusement, dans une foule de cas, on ne voit pas le moyen d'obtenir cette svmétrie.

CIIAPHRK \II.