VÉRIFICATIONS

Nature du résultat.

1117. (Quelque problème r|iie l'on résolve, on connaît toujours, par avance, la nature du résullat que Ton cherche.

En certains cas, ce résultat doit être une relation, une équation. C'est ce qui arri\e : (|uanJ on cherche un lieu; — quand on intègre une t'-quation difiéietitielle ; — quand on élimine des constantes; — quand on élimine des fondions arbitraires; — ou simplement lorsqu'on cherche ré(|ualion soit aux dillérentielles, soit aux dilVérences, soit aux dillerences mêlées qui lie entre eux les éléments entrant dans le problème.

En d'autres cas, on se propose de trouver une fonction. C'est ce qui arrive : lorsqu'on cherche une dérivée; — lorsque Ion calcule une intégrale définie ou indéfirjie; — lorsque l'on forme un développement en série; — lors(pie l'on détermine la fonction génératrice de certains nombres. — Ou pourrait dire aussi lorsque l'on calcule, à l'aide des données, l'expression de linconnue ou des inconnues d'un problème : cette expression n'est, en effet, autre chose qu'une fonction de ces données.

Il se peut enfin que l'on se propose simplement de trouver des nombres déterminés, écrits eu chiffres, comme on le fait dans la plupart des problèmes usuels de la finance, du commerce ou de l'iudu?trie.

Quel que soit le résultat obtenu, la première des vérifications consiste à voir s'il est bien de la nature prévue; s'il est bien une relation, une fonction ou un nombre. Cette première vérification €st, eu quelque sorte, immédiate, intuitive : il est presque inutile de la recommander.

Lietix de points.

H18. On peut prévoir si les points que l'on cherche sont des points isolés, ou bien s'ils forment soit une ligne, soit une surface. 11 suffit de voir, en efl'et, sur la définition qui les donne, s'ils sont déterminés d'eux-mêmes, ou bien si leur position à chaque instant dépend d'une variable ou de deux.

1119. Si les points sont ^/e7e7V?2me5et, par conséquent, en nombre limité, on doit trouver que leurs 3 coordonnées sont données par 3 équations distinctes. S'ils forment une ligne dans Tespace, on doit trouver que ces coordonnées sont liées par 2 équations. S'ils forment une surface, qu'elles sont liées par une seule. Voilà des vérifications immédiates.

Dans le cas, d'ailleurs, où l'on se servirait, pour les lignes et les surfaces, de la représentation paramétrique, on devrait toujours, (inalement, trouver 3 relations. Ces relations exprimeraient les coordonnées : de chaque point de la ligne, en fonction d'une seule variable indépendante; de chaque point de la surface, en fonction de deux.

1120. On peut prévoir aussi le degré du lieu qu'on cherche. En particulier, dans le cas des lignes planes, on peut souvent déduire ce degré de théorèmes généraux connus, principalement du théorème de Chaslcs sur le lieu décrit par un point remarquable d'un réseau de coniques avant, pour caractéristiques, les nombres a et v.

1121. On peut prévoir. encore que tel ou le\ point, parfaitement déterminé, doit appartenir au lieu cherché.

Si une courbe plane mobile passe constamment par un point fixe, il est bien évident que son enveloppe passe par ce point fixe. — Plus aénéralement, étant données les deux familles de courbes

/(.r, j:À) = o. ^^(^, jk; ),) = o,

il est bien évident que, si les courbes constituant l'une d'elles passent constamment par un certain îiombre de points fixes, le lieu