CHAPITRE XII. — VÉRIFICATIONS. {jS

dont l'équation résulte de réiiinination de )., passe aussi par tous ces points.

Ces propriétés, comme toutes celles qu'on reconnaît à l'avance, donnent des moyens de vérification.

Des équations.

1122. Dans les problèmes d'application de l'Algèbre à la Géométrie, tout revient, en général, à trouver la valeur dune certaine inconnue, le plus souvent d'une longueur. A chaque solution du problème correspond une valeur de cette inconnue. Comme on peut, par un examen attentif de l'énoncé, déterminer le nombre des solutions du problème, on |)eut savoir, à l'avance, le degré de l'équation finale. Si l'équation trouvée n'est point de ce degré, elle est fausse, sinon elle pèche par excès ou par défaut.

1123. Sur les équations purement numériques à une inconnue, on peut connaître à l'avance une ou plusieurs racines. Il faudra donc vérifier si les valeurs de ces racines satisfont à l'équation. C'est là une vérification, en quelque sorte brutale, qu'on effectuera par les procédés les plus simples.

La racine zéro s'aperçoit immédiatement ainsi que son degré de multiplicité. La racine -H i et la racine — i se voient presque aussi facilement.

112i. On peut savoir, d'après l'énoncé même du problème, que les racines de l'équation finale sont 2 à 2 égales et de signes contraires. Cette équation devra donc avoir, par rapport à x. tous ses termes de degré pair ou de degré impair.

On peut savoir de même c[ue l'équation finale, n'admettant ni la racine + i, ni la l'acine — i, a ses racines 2 à 2 inverses l'une de l'autre, c'est-à-dire est réciproque. Les coefficients de ses termes équidistants des extrêmes devront donc être égaux et de même signe. Comme dans l'exemple précédent, il suffira de lire l'équation finale |)Our en effectuer une vérification.

1125. Dans les équations différentielles, on considère l'ordre

474 TROISIEMK PARTIE. — USAGE.

et le degré. Lorsqu'on oblienl une (elle équation par l'élimination des constantes ou fonctions arbitraires qui figurent dans une équation finie, Vordre de l'équation dilîerentielle peut être facilement prévu : il est égal au nombre des constantes ou fonctions arbitraires qu'il s'agit d'éliminer. Si l'ordre obtenu est supérieur à ce nombre, on s'est forcément trompé. S'il est inférieur, deux cas peuvent se présenter : ou bien les calculs sont erronés; ou bien les constantes ou fonctions arbitraires qui figuraient dans l'équation finie initiale et qui paraissaient dislinctes, en réalité ne l'étaient pas.

Résultats incomplets ; surabondants.

1126. Il faut évidemment que la solution d'un prol)lème donne tout ce que l'on cherche et seulement ce que l'on cherche. Elle ne doit rien oublier, rien donner de trop. Elle ne doit être ni incomplète, ni surabondante.

1127. Dans 1 intégration d'une équation différentielle ordinaire, on doit Irouv'er autant de constantes arbitraires qu'il y a d'unités dans l'ordre de cette équa'lion ditïérentielle. — Dans l'intégration d'une équation aux dérivées partielles, on doit trouver ce même nombre de fonctions arbitraires, ou bien obtenir des intégrales complètes formant un système équivalent à l'intégrale contenant toutes ces fonctions arbitraires. — Peut-être même ne devraiton regarder le problème comme complètement résolu qu'après avoir obtenu, en même temps que les intégrales générales, toutes les intégrales singulières qui peuvent exister?

1128. Dans le calcul algébrique, il ariive très souvent, soit lorsqu'on réduit différents termes au même dénominateur , soit lorsqu'on efiectue certaines éliminations, que l'on supprime des facteurs nécessaires ou que l'on introduise des facteurs étrangers. Ce n'est qu'en calculant avec la plus grande attention que l'on évite ces deux sortes d'erreurs.

On supprime des facteurs nécessaires lorsqu'on divise les deux membres de l'équation étudiée par un ou plusieurs facteurs contenant les variables. — Supposons que l'on cherche le lieu des points

CHAPITRi; Xn. — VÉRIFICATIONS. ^-'j

du [jliin (luiil les polaires par rapport à l'ellipse el au cercle concentrique,

sont parallèles. On trouve que ce lieu a pour équation

xy ==0

et. par conséquent, se compose des deux axes de svniétrie de l'ellipse. Si par inadverlance, dans le cours du calcul, on eût tout divisé par x et y^ on fût arrivé à une équation absurde, qui n'eût rien donné.

L. introduction d'un facteur étranger dans une équation à une inconnue ajoute aux racines de celte équation une ou plusieurs racines étrangères. Dans l'équation d un lieu plan, cette introduction associe au lieu cherché un lieu nouveau, tout à fait étranger à la question.

1129. Il ne faut point confondre avec ces lieux étrangers ceux que le calcul le plus correct apporte dans la solution des problèmes. — Lorsque l'on cherche le lieu des projections d'un point intérieur à une ellipse sur les tangentes à celte ellipse, on irouve, comme faisant partie du lieu, le point intérieur lui-même. La présence de ce point s'explique à laide des tangentes imaginaires que l'on peut mener par lui à l'ellipse. — Il en est de même de la présence si fréquente, dans l'équation finale, du SNStème des directions asvmptntlques du cercle, du sA"slème de ce qu'on ajqjelle les droites isotropes.

1130. On obtient souvent, sans qu'on ait fait aucune faute de calcul, à la place du lieu demandé, un lieu plus vaste dont le premier n'est qu une partie.

Le lieu des milieux des cordes d'une ellipse qui sont parallèles à une direction donnée ne se compose évidemment que de la portion du diamètre conjugué qui est intérieure à l'ellipse. Pourquoi le calcul nous donne-t-il ce diamètre tout entier? Parce qu'une corde qui ne rencontre pas l'ellipse la coupe, analvtiquement, en deux points dont les coordonnées sont imaginaires conjuguées, et

que, par suite, le milieu de cette corde a ses coordonnées réelles, est un point réel.

1131. Lorsqu'un petit cercle d'une sphère tourne autour d'un diamètre de cette surface, il engendre évidemment une zone; le calcul donne la sphère tout entière. — Lorsqu'un segment de droite tourne autour d'un axe qui lui est parallèle, il engendre une portion de surface cylindrique : le calcul donne la surface indéfinie.

Ce dernier résultat s'explique par ce lait qu'on ne saurait exprimer par une équation une portion d'une ligne donnée. L'équation exprime toujours cette ligne tout entière. Il faudrait, pour la réduire à n'en représenter qu'une partie, lui associer une ou plusieurs inégalités.

1132. Quoi qu'il en soit, en vérifiant le résultat final, il faudra toujours voir s'il est incomplet ou surabondant, et, dans le cas où il le serait, chercher les causes ijui le rendent tel.

Valeurs numériques.

1133. Les valeurs numériques que l'on obtient pour les inconnues se vérifient, comme nous l'avons dit (1123), d'une façon brutale. Il suffit de les porter dans l'équation considérée, et deffectuer les calculs. Mais, dans beaucoup de cas, on peut prévoir que ces valeurs numériques satisferont à certaines conditions, posséderont certaines propriétés.

1134. Supposons qu'un problème, dont la résolution dépend d'une seule inconnue, soit démontré possible. L'équation numérique qui donnera cette inconnue aura, au moins, une racine réelle. — Supposons que celte inconnue doive admettre deux valeurs de sens contraires : cette équation devra avoir, au moins, une racine réelle positive et une racine réelle négative. — Supposons que les nombres cherchés doivent, d'après l'énoncé, être les cariés de nombres réels : l'équation qui les donnera devra avoir des racines véeWes positives.